第三节 “发现模式”的演化

逻辑经验主义开拓了科学哲学的“语言学转”，在区分观察语言与理论语言的同时，也区分了发现问题和证明问题，认为研究证明问题才是科学哲学的真正使命，而发现问题则不属于科学哲学家的任务。赖欣巴哈在《科学哲学的兴起》中指出：“对于发现的行为是无法进行逻辑分析的；可以据以建造一架‘发现机器’，并能使这架机器取天才的创造功能而代之的逻辑规则是没有的。但是，解释科学发现也并非逻辑家的任务；他所能做的只是分析所与事实与显示给他的理论（据说这理论可以解释这些事实）之间的关系。换言之，逻辑所涉及的只是证明的前后关系。”[1]

一、汉森的《发现模式》

N.汉森非常不满意逻辑经验主义专注于证明问题而不顾发现问题。在《发现的模式》一书中，汉森认为科学的发现过程远比研究结果更丰富，也更有意义。这是因为，科学发现过程绝不是简单的归纳过程，也不是事实材料的简单堆积。例如，物理学理论提供了一些使经验材料在其框架内成为易于理解的模式，这些模式乃是概念的格式塔。理论不是由所观察到的有关现象的各个片断堆砌而成的，它还使人们有可能去进一步察觉一些现象，而科学理论就是把现象安排成有条理的体系。这些体系是按反向程序，即以逆推方式排列起来的。理论是作为显露前提所必然会得出的结论总和出现的。物理学家从所观察到的现象属性，力图找出一种能获得基本理论概念的合理方法，借助这些概念，那些现象属性就可以得到切实可靠的解释。[2]在这里，汉森刻意强调了假说的形成在科学发现中的重要作用。在他看来，科学理论的发生并不是一个简单的归纳，而是对异常现象的“逆推”，这种“逆推”就是形成对现象解释的假说。

汉森也想要比对完满论证支持已发明的假设的分析做更多的工作。他想要比“完成研究报告的逻辑”做更多的工作。汉森区分了接受一种假设的理由与最初提出这种假设的理由。首先支持假设的辩护，其次支持假设的最初似然性。汉森进一步力陈发现的理由：最初似然性，基本上不同于辩护的理由（可接受性）。逻辑经验主义主张这些理由是相同的。他们主张这种不同是有关一个系列的两种目的在程度上颇不相同罢了。对汉森说明的新近批评有人可能接受汉森的区别，但否认他的结论；有人可能区分似然性和辩护；但有人可能否认似然性的理由基本上与辩护的理由不同的主张；有人可能坚持辩护包含了似然性。[3]

当然，汉森《发现的模式》的意义不在于他关于发现问题的理论建树和具体结论，而在于他敢于突破逻辑经验主义偏重于语言分析的教条，从而开启了认识论特别是认识模式研究的新路径。更为重要的是，这条路径经过波普尔、拉卡托斯、Paul Ernest等人的深化发展，逐渐展现出建构主义特别社会建构主义的认知取向。

二、波普尔的“科学发现的逻辑”

K．波普尔的科学哲学特别是他的科学认识论有三个重要论点：波普尔的第一个论点是：“洛克、贝克莱、休谟甚至罗素的传统的认识论从相当严格的词义上来说是离题的。这个论点的推论是，大部分现代认识论也都是离题的。”[4]这是因为，传统认识论大多侧重于研究人的主观活动。波普尔的第二个论点是：“与认识论相干的是研究科学问题和问题境况，研究科学推测（我把它看作是科学假说或科学理论的别名），研究科学讨论，研究批判性论据以及研究论据在辩论中所起的作用；因而也研究科学杂志和书籍，研究实验及其在科学论证中的价值；或简言之，研究基本上自主的客观知识的第三世界对认识论具有决定性的重要意义。”[5]但是，波普尔还有第三个论点：“研究第三世界的客观主义认识论会有助于很好地阐明主观意识的第二世界，尤其有助于阐明科学家的主观思想过程：但反之则不然。” [6]

根据这三个论点，波普尔设计了这样一个“科学发现的模式”：“P1→TT→EE→P2…”。这个模式的含义是：我们从某个问题P1出发，提出一个尝试性的解答或尝试性的理论TT，它可能（在部分或整体上）是错误的；无论如何它都必须经受消除错误的阶段EE，这可以由批判讨论或实验检验组成；无论如何，新问题产生于我们自己的创造活动，并且这些新问题一般不是由我们有意识地创造的，它们自发地从新的关系领域中涌现出来，我们的一切行动都不能阻止这种关系产生，尽管我们很少打算这样做。[7]

但如何理解这个发现模式，我们往往把它归结为“试错法”。其实，按照波普尔自己的理解，这个发现模式的本质特性在于它的辩证性。早在1937年，波普尔就把这个模式称之为“辩证法三段论式”（正题-反题-合题）。在这里，一切科学讨论从问题（P1）开始，对于问题我们提出某种试探性的解决——试探性理论（TT）；然后批判这个理论，试图排除错误（EE）；并且正如辩证法的情况一样，这个过程又重新开始：理论及其批判性修正提出了新的问题（P2）。

问题就出在对问题的理解上。波普尔所说的问题是在生物适应环境的意义上的问题。实际问题的产生是因为什么地方出了差错，由于发生了某种意料不到的事件。但这意味着有机体——不管是人还是阿米巴——通过演变某种期望或某种其他结构（比方说一个器官），再使自己（也许笨拙地）适应它的环境。然而这种适应是提出理论的前意识形式；由于任何实际问题的产生与这种适应有关，因此实际问题本质上是浸透着理论的。

对此，波普尔在他的《自传》（第37节）说得很明确，他的理论基点是“生物学和进化论”。（1）已表述的理论与已表述的（试探性）解决之间的关系可认为本质上是一种逻辑关系。（2）然而“已感觉到的”问题（或实际问题）与解决办法之间的关系是一种基本的生物学关系。这在描述单个有机体的行为或在一个物种或一个门的进化理论中可能是重要的。（3）问题和解决之间的关系显然在单个有机体，尤其是人类有机体的历史中，起着重要的作用；而在智力努力的历史中，例如科学史中，起着特别重要的作用。（4）这种关系在宇宙的无机进化或宇宙的无机部分的历史中似乎不起作用。（5）每当我们说一个有机体试图解决一个问题，比方说P1，我们就是提供了一个多少有点风险的历史性猜想。虽然它是一个历史性猜想，但它是根据历史的或生物学的理论提出来的。

生物学和进化论虽然启发了波普尔开启了批判理性主义的思想道路，但毕竟是有限的。对此，波普尔并不否认。他在《自传》中说：“在动物水平上这当然总是猜想性的——事实上它是高度理论的建构——如果一个科学家猜想个别的动物或物种（比方说用青霉素处理的细菌）：它对面临的问题已有一个解决办法（比方说成为耐青霉素的了）。这样一种说法听起来像是比喻式的，甚至是拟人的，但也可以不这样说。它不过说出这个猜想：环境境况就是这样，除非物种（或有机体种群）以某种方式发生改变（也许通过改变它的基因群的分配），它就会陷入困境。”

其实，早在写作《猜测与反驳》一书的时候，波普尔还提到了一种通过主体间的互相批判达到理性进步的人文主义思路。“理性的批判可能发展，理性的标准——一些首要的许多人都能接受的标准——以及客观真理的思想都可以得到发展。这种批判最后可能发展成为力图发现别人的理论和信念以及自己的理论和信念中的弱点和错误的系统尝试。正是通过这种相互批判，人才能哪怕是逐渐地冲破生物学释放信号世界的主观性，此外还能冲破他自己的想象发明的主观性以及这些发明可能部分地依赖之的历史事件的主观性。因为，这些理性批判和客观真理的标准，使得他的知识在结构上不同于它由之进化的前身（尽管仍然可能把这知识归入一些生物学或人类学的活动图式）。正是接受这些标准，给每个人带来了尊严；使得他在道德和理智上都有责任感；使得他不仅理性地活动，而且对相互竞争的各个理论进行思考、判定和鉴别。这些客观真理和批判的标准可能教育他再试一下，再思考一下，对他自己的结论提出诘难，运用他的想象力尝试寻找他自己的结论是否有错，错在什么地方。它们可能教育他把试错法应用于每一个领域，特别是科学之中；从而它们也可能教育他怎样从他的错误中汲取教益和怎样找出错误。这些标准可能帮助他发现自己知道得多么少，不知道的又何其多。它们可能帮助他增长知识，还帮助他认识到他正在成长。它们可能帮助他领悟到这样的事实：他的成长归功于其他人的批判，合乎理性就是准备倾听批判。这样，它们甚至可能帮助他超越他的动物般的过去，随之也超越主观主义和唯意志论，而浪漫的和非理性主义的哲学家则可能试图使他沉迷于其中。这就是我们的精神成长和超越其自身的方式。如果说人文主义关心的是人类精神的成长，那么，人文主义的传统不是批判的和合乎理性的传统，又会是什么呢？”[8]

由于历史和逻辑的双层局限性，波普尔并没有在强调主体间互动的人文主义思想路线上走得更远。当然，这正是后继承者的继续探索的基础和前提。

三、拉卡托斯的“数学发现的逻辑”

拉卡托斯是继承波普尔批判理性主义思想的数学哲学家、科学哲学家，他的学术旨趣是将波普尔的“朴素证伪主义”变成“精致的证伪主义”。1961年以博士论文作《数学发现的逻辑》（即《证明与反驳》）[9]获得剑桥大学哲学博士学位，1968～1969年写就了《否证和科学研究纲领方法论》一文。粗略地讲，拉卡托斯的思想经历了一个从数学发现的逻辑（即《证明与反驳》）到科学研究纲领方法论（《否证和科学研究纲领的方法论》）的转变。[10]

学界一般比较重视对科学研究纲领方法论的关注，而对于数学发现的逻辑，则往往视为数学哲学的局部领域。其实，从本著的角度看，科学研究纲领的方法论不过是对波普尔批判理性主义的修补而已，思想的原创性内涵并不多。而真正对后来科学哲学特别是社会建构主义思想具有启发作用的则是他的数学发现的逻辑或数学哲学。

有三个因素影响拉卡托斯的数学哲学：乔治·波利亚（George Polya）[11]的数学启发法，黑格尔的辩证法和波普尔的批判哲学。[12]

波普尔的影响：早在拉卡托斯离开匈牙利之前，他就知道波普尔的著作。在20世纪50年代后期，拉卡托斯就遇到了波普尔的思想，并对他的思想产生了重要的影响。波普尔对他的影响明显地表现在，波普尔的方法论被称之为科学发现的逻辑（LSD），而拉卡托斯的方法论被称之为数学发现的逻辑（LMD）。[13]

Polya的影响：拉卡托斯的数学哲学的第二个来源是Polya解释数学的启发法。Polya提出了解决数学问题的4段启发法：（1）理解问题；（2）制订计划；（3）执行计划；（4）总结。[14]

黑格尔的影响：拉卡托斯的数学哲学的第三个来源和动力在于采纳了辩证法的形式，这个问题在理解拉卡托斯的思想中被忽略了。其实，黑格尔的影响在拉卡托斯的著作中是明显的。“对话形式反映情节的辩证法”（拉卡托斯，1976，5）。这就涉及黑格尔的哲学和辩证法。只有像费耶阿本德（1975）、哈金（1979）和瓦托夫斯基（1976）等学者承认黑格尔对拉卡托斯的影响，但他们很少对这个问题进行深入的研究。[15]

黑格尔对拉卡托斯的影响主要体现在三个方面[16]：（1）黑格尔的证伪主义：黑格尔的证伪主义深刻地影响了拉卡托斯。黑格尔对哲学的贡献有两个：第一，他的思想激烈地破坏了非证伪主义的追随者；第二，他为知识的创造性研究提供了有力的开端。（2）黑格尔的辩证法：黑格尔的辩证法三段论是一个循环过程：正题（the thesis）必然要产生它的反题（the antithesis）；正题和反题都归结为一个更具有包容性的合题（the synthesis），从而完成一个循环。拉卡托斯正是把他的LMD[17]建立在黑格尔的辩证法的基础之上。（3）黑格尔的历史主义：黑格尔的辩证法是与他的历史哲学密切相关的。拉卡托斯认为，数学哲学没有对数学历史的深刻而本质性的思考就是空洞的。

拉卡托斯在《证明与反驳》中所论述的这个数学发现的逻辑，矛头直指逻辑实证主义的形式主义。当此形式主义处于支配地位之时候，我们要套用康德的话：“数学史，在缺乏哲学的引导下，已变得盲目了；而数学哲学，在置数学史上最引人入胜的现象于不顾时，已变得空洞了。‘形式主义’乃是逻辑实证主义哲学的堡垒。根据逻辑实证主义，一命题之所以有意义仅当其为‘重言式’或是经验的陈述。由于非形式数学既非‘重言式的’亦非经验的，其必为无意义的纯粹胡诌。逻辑实证主义的教条对数学史与数学哲学都是有害的。”[18]因此，“若没有对形式主义的批判和最终摒弃，数学史与数学发现的逻辑，即数学思想之系统发生和个体发生，是不能得到发展的”[19]。

拉卡托斯是以对话体的形式进行写作的，他虚构了教师在课堂上与学生们讨论正多面体欧拉公式“V-E+F＝2”的猜想与发现、证明和反驳的全过程，形象地展现了数学史上对此问题进行研究探索的真实的历史图景，以此来挑战和批判以希尔伯特为代表的认为数学等同于形式公理的抽象、把数学哲学与数学史割裂开来的形式主义数学史观。此篇光辉论著的主要目的是要解决数学方法论的基本问题，以一种探索和发现的情境逻辑来代替形式主义和逻辑实证主义的抽象教条。正如拉卡托斯所说，非形式、准经验的数学的发展，并不只靠逐步增加的毋庸置疑的定理的数目，而是靠以思辨与批评、证明与反驳之逻辑对最初猜想的持续不断的改进。“这个案例研究的核心是要向数学形式主义的挑战，但却不会直接地反对数学教条主义的根本观点。谦虚地说，它的目标是详细发挥此一论点：非形式、准经验的数学发展，并不只是靠逐步增加的毋庸置疑的定理的数目，而是靠以思辨与批评、证明与反驳之逻辑对最初猜想的持续不断的改进。不过，因为元数学是如今正迅速发展的非形式、准经验的数学的一个范式，所以，此文亦会隐含地挑战现代数学的教条主义。目前元数学之历史的研究者将会在其自己的领域里辨认出此处描述的模式。对话形式当可折射出故事发展的辩证性；其意在包含而体现一种合理地重建或‘提炼净化’过的历史。”[20]

拉卡托斯把这个数学发现的逻辑概括为多证多驳：“多证多驳法是数学发现中的一种非常普遍的探试模式……这种模式由下面几个阶段组成：

（1）原始猜想。

（2）证明（一个粗略的思想实验或者论证，把原始猜想分解成一些子猜想或者引理）。

（3）‘全局的（global）’范例（针对原始猜想的反例）出现。

（4）证明之复查：发现了针对全局反例的是一个‘局部’反例的‘过错引理’。这一过错引理也许先前一直是‘隐藏的’或者可能是被错误地混淆了。现在它被揭示出来，并且作为一个条件进入原始猜想。定理——经过改进的猜想——以新的证明产生的概念作为其最主要的新的特征取代原始猜想。

（5）检查其他定理的一些证明来看看其中是否会有新发现的引理或者新的证明生成的概念产生：这一概念也许会被发现正处在不同证明的十字路口，从而显示其基本的价值。

（6）检查先前接受的但是现在又被驳倒的猜想中的推论。

（7）反例转变为新的例子——新的探求的领域展开了。”[21]

其实，拉卡托斯的《证明与反驳》不仅仅在于他提出了数学发现的逻辑，更重要的是，他用罕见的对话文体来撰写他的著述。这些发生在教师和学生、学生与学生之间就欧拉公式“V-E+F＝2”的猜想与发现、证明和反驳的对话，充分体现了真正的辩证理性，有效地避免了各种独断论。

四、Paul Ernest的“扩展的数学发现的逻辑”

1998年，Paul Ernest出版了《作为数学哲学的社会建构主义》（Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics ）一书，这部著述主要论述了8个问题或8章：1.对数学哲学中的绝对主义的批判（A critique of absolutism in the philosophy of mathematics）；2.重整数学哲学（Reconceptualizing the philosophy of mathematics ）；3.维特根斯坦的数学哲学（Wittgensitein’s philosophy of mathematics）；4.拉卡托斯的数学哲学（Lakatos’ philosophy of mathematics）；5.客观知识的社会建构（The social construction of objective knowledge）；6.交流和修辞学（Conversation and rhetoric）；7.主观知识的社会建构（The social construction of subjective knowledge）；8.社会建构主义：评价及其价值（Social constructivism：evaluation and values）[22]。

在Paul Ernest看来，长期以来，数学及数学哲学久为绝对主义所困。为了消除数学研究及数学哲学中的绝对主义，Paul Ernest高度评价了数学研究和数学哲学中的建构主义思想传统。[23]基于这样的基础，建构主义者的纲领就是一种重新建构数学知识（及其变更数学实践）以便使数学知识免于无意义和矛盾。为了达到这个目的，建构主义者否定非建构主义的证据，如康托关于实数不可数性，存在reductio and absurdum证据，双层否定的逻辑规则和排中律等。因为这些结论和推理模式都使得数学超越了被直觉所建构的观点。[24]但是，Paul Ernest并不满意于建构主义的主观主义倾向。在他看来，主观信念的态度，不论是作为数学的公理基础，还是作为逻辑本身，都不能为数学提供绝对主义数学所要求的正确的基础。像以前提高的逻辑主义和形式主义一样，作为绝对主义的数学哲学已经消失了。[25]

为了克服数学哲学中的绝对主义和主观主义（包括建构主义），Paul Ernest倡导一种社会建构主义的数学哲学，这是因为在认识论上处于核心地位的社会现象比如语言、协商、对话和集体接受等都不能单纯地解释为个体的和客观主义的术语，而社会建构主义为数学中的“主观”知识和“客观”知识提供了一个理论的社会说明，并社会地描述了在这两类知识的起源和辩护的创造性机制。

据此，Paul Ernest提出了一种社会建构主义的“数学发现的逻辑”，其根据源于拉卡托斯的数学发现逻辑（LMD），客观数学知识辩护的社会对话过程成为社会建构主义者数学哲学的核心。[26]Paul Ernest把它称之为扩展的数学发现的辩证形式[27]。

这种社会建构主义数学哲学认为，客观数学知识，就在于它可以公开地接受审查并在社会上获得承认。有效的数学知识大体上是在知识（公开的证据）的公开辩论的基础上得到承认的知识，是通过对话过程幸存下来的或者根据公开审查和批判重新表达的知识。[28]

[1] 〔德〕赖欣巴哈：《科学哲学的兴起》，伯尼译，北京，商务印书馆，1983，第102页。

[2] Norwood Russell Hanson：Patterns of Discovery：An Inquiry into the Conceptual Foundations of Science，Cambridge，U.K.;New York，Cambridge University Press，1958：104.

[3] Carl R.Kordig：《发现和辩护》，金吾伦译，《世界科学》1983年第9期。

[4] 〔英〕卡尔·波普尔：《客观知识》，舒炜光等译，上海，上海译文出版社，1987，第116～117页。

[5] 〔英〕卡尔·波普尔：《客观知识》，舒炜光等译，上海，上海译文出版社，1987，第119页。

[6] 〔英〕卡尔·波普尔：《客观知识》，舒炜光等译，上海，上海译文出版社，1987，第119页。

[7] 〔英〕卡尔·波普尔：《客观知识》，舒炜光等译，上海，上海译文出版社，1987，第127～128页。

[8] 〔英〕波普尔：《猜想与反驳》，傅季重等译，上海，上海译文出版社，1986，第548页。

[9] 拉卡托斯的《证明与反驳》主要包括如下章节。第1章包括如下内容：1.一个问题与一个猜想；2.一个证明；3.用局部而非全局的反例对证明的批评；4.全局的反例对猜想的批评；5.全局而非局部的反例对证明分析的批评。严格性的问题；6.再论局部而非全局的反例对证明的批评；7.重谈内容问题；8.概念的形成；9.批评如何可把数学真理变为逻辑真理。第2章包括如下内容：1.把猜想翻译成矢量代数“完全被认可的”术语；2.猜想的另一个证明；3.关于证明之终极性的一些疑问。翻译的程序以及实在论者的定义方法vs.唯名论者的定义方法。附录1提供了多证多驳法中的另一个案例研究，主要有：1.柯西为“连续性原理”所作的辩护；2.赛德尔的证明以及证明生成的一致收敛概念；3.阿贝尔的例外排除法；4.有关证明分析法之发现的障碍。附录2介绍了演绎主义方法vs.探试法，主要内容有：1.演绎主义方法；2.探试法及证明产生的概念等。

[10] 对拉卡托斯前后思想的转变，我国学者郑毓信教授做了大量的工作，并得到国际学界的认可。对此，网上（http：//philo.nju.edu.cn/11.doc）有一篇短文做了较为详细的介绍：手边有两本外文的数学哲学专著，它们分别是由美国纽约州立大学（SUNY）出版社在1998年出版的由Paul Ernest撰写的《作为数学哲学的社会建构主义》（Social Constructivism as a Philosophy of Methmatics）、与由英国学院出版社（CP）在2007年出版的由Gianluigi Oliveri撰写的《一种实在论的数学哲学》（A Realist Philosophy of Methmatics）。这两部著作都有一定的学术价值，在学术圈内也有一定影响。然而，当前吸引我们的却又不仅是这两部著作本身的价值，而是因为其中都用较大的篇幅谈到了南京大学哲学系郑毓信教授的工作。前一著作的作者原毕业于伦敦经济政治学院（LSE）科学方法系，应当说受到了国际著名数学哲学家、科学哲学家拉卡托斯（Imre Latakos）的重要影响，后者并在这一著作中占据了十分重要的地位，而也正是在论及拉卡托斯的学术工作、特别是他的思想渊源时，Paul Ernest专门提到了郑毓信的工作，这主要是指他在1990年于《英国科学哲学杂志》（The British Journal for Philosophy of Science，Sept.）发表的一篇长达15000字的论文“From the Logic of Mathematical Discovery to the Methodology of Scientific Research Programmers”（《从数学发现的逻辑到科学研究纲领方法论》），这一著作中并直接采用了郑毓信论文中的两个示意图以说明在拉卡托斯的“数学发现的逻辑”（LMD）与波普尔（Kaul Popper）的“科学发现的逻辑”（LSD）以及拉卡托斯后来所倡导的“科学研究纲领方法论”（MSRP）之间所存在的重要联系从而也就再次确认了这样一个观点：正是郑毓信教授在国际学术界首先对拉卡托斯的思想发展过程进行了研究，特别是清楚地指明了在LMD到MSRP这两者之间所存在的重要联系。对于后一工作伦敦经济政治学院科学方法系原主任John Watkins也曾对郑毓信当面评价道（后者当时正在那里进行学术访问）：“You got the point”，尽管他在先前曾对是否存在这样的联系表示怀疑。郑毓信并曾以此为主题应邀到牛津大学作专题学术报告（University Lecture on Philosophy of Methmatics）。如果说郑毓信的上述工作主要是一个具体的、微观的研究，那么，上面所提到的第二本著作则就直接关系到了他在宏观方面的工作。具体地说，这就是郑毓信在1997年发表的另外一篇文章：“The Revolution in the Philosophy of Methmatics”（《数学哲学中的革命》）（Logique et Analyse，97：158），而这正是这一论文的主旨所在，即是希望能从总体上对数学哲学的现代发展作出梳理，特别是清楚地指明在数学哲学现代研究中所存在的两种不同范式。也正因为此，这无疑就是对于这一工作的一个直接肯定，在为第二本著作所作的序言中，英国伦敦大学大学学院的Donald Gillies教授就以郑毓信所提出的发展线索、特别是两种不同的研究范式（对此郑毓信分别称为“数学家的数学哲学”“哲学家的数学哲学”，Gillies则建议改名为“历史的范式”与“分析的范式”）为主要概念框架对《一种实在论的数学哲学》进行了概述与评价。Gillies在其所写的“序言”中还直接引用了郑毓信论文中的一大段论述（第ix-x页）。值得指出的是，在1997年再次访英期间，郑毓信也曾以“数学哲学中的革命”为主题分别应邀到英国伦敦国王学院、意大利米兰大学、罗马大学、德国柏林自由大学等国际著名大学作了专题报告，得到了普遍的好评。

[11] 乔治·波利亚（George Polya，1887～1985），杰出的数学家，出生于匈牙利，曾经在布达佩斯、维也纳、格廷根和巴黎等地攻读数学、物理和哲学。1912年在布达佩斯大学获博士学位，1914年在瑞士联邦理工学院任教，1940年移居美国，1942年任斯坦福大学教授。三部经典著作是《怎样解题》（1944）、《数学与合理型》（1954）和《数学的发现》（1962～1965）。其中《数学的发现》对拉卡托斯产生重要影响，这部著作的主要内容分两部分。第一部分为“模型”。其中包括双轨迹的模型（第一章）、笛卡尔模型（第二章）、递归（第三章）、叠加（第四章）。第二部分为“通向一般方法”。其中包括问题（第五章）、扩大模型的范围（第六章）、解题过程的几何图示（第七章）、计划和程序（第八章）、题中之题（第九章）、想法的产生（第十章）、思维的作用（第十一章）、思维的守则（第十二章）、发现的规则（第十三章）、关于学与教（第十四章）、猜测和学习方法（第十五章）等。

[12] Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics，Albany,State University of New York Press，1998:103.

[13] Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics，Albany,State University of New York Press，1998:99.

[14] Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics，Albany，State University of New York Press，1998：101.

[15] Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics，Albany，State University of New York Press，1998：102.

[16] Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics，Albany，State University of New York Press，1998：103-105.

[17] LMD，即Logic of Mathematical Discovery（数学发现的逻辑）。

[18] 〔英〕拉卡托斯：《证明与反驳》，方刚，兰钊译，上海，复旦大学出版社，2007，作者引言，Ⅱ-Ⅲ。

[19] 〔英〕拉卡托斯：《证明与反驳》，方刚，兰钊译，上海，复旦大学出版社，2007，作者引言，Ⅳ。

[20] 〔英〕拉卡托斯：《证明与反驳》，方刚，兰钊译，上海，复旦大学出版社，2007，作者引言，V。

[21] 〔英〕拉卡托斯：《证明与反驳》，方刚，兰钊译，上海，复旦大学出版社，2007，作者引言，第138页。

[22] 这部著述的基本内容大致如下：本书始于对数学哲学中的数学知识的绝对主义观点的强烈批判（第一章）和一般数学哲学的传统研究的强烈批判（第二章）。这种批判认为，数学哲学需要被重整（reconceptualized），需要被扩展到所涉及的社会和历史因素。第三章主要批判地考察维特根斯坦的数学哲学，第四章主要批判地考察拉卡托斯的数学哲学，以此为基础解决数学知识的社会建构（第五章）。这种建构包括重新定义数学知识的概念，使之包括意会的和共享的知识因素，同时开发一种对数学知识的社会根源和判据进行理解的对话机制。这就意味着扩展数学发现的逻辑，推广拉卡托斯的启发式发现模式。第六章形成对话（conversation）的中心思想，使之成为社会建构主义的基础。这就要求更新数学知识基础和数学语言和证据的修辞学功能的根基。第七章论证了对话在数学的主观知识的意识生成和社会建构中占据重要作用，其中包括记号工具和修辞学在数学研究中的重要作用。令人惊奇的是，我们发现这样在两者之间的相关性：一方面是数学知识的社会根源和客观性质；另一方面是数学知识的主观性质。从这种相关性看，数学哲学必须考虑数学家个人及其创造性的社会建构，如果这种个性是数学知识的原因的话。第八章是本著的基本结论。通过批判传统的数学哲学中得出这样的结论：与传统观念不同，被社会建构起来的数学应该承担应尽的社会责任。

[23] 数学哲学中的建构主义流派至少可以追溯到康德和Kronecher。康德在1781（1961）和1783（1950）年详细地论述了这样一种哲学体系，这种哲学体系以若干思想意识中的普遍的先天的范畴为基础，这些范畴包括时间和空间。他把几何和数量知识看作我们的直觉在时间和空间范畴内的展开。这就导致了他把欧几里得几何学和数的理论称之为先验综合判断的真理。康德死后，非欧几何的兴起导致许多康德的后继者放弃了将欧氏几何看作是来自于空间的直觉的先验综合真理的观点。但像Brouwer那样的现代直觉主义者依然坚持康德思想的其他理念。这就是，数的真理是来自于时间的基本直觉的先验综合判断。Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics ，Albany，State University of New York Press.1998:20.

[24] 建构主义者和直觉主义者之间存在着一定的思想关联，许多直觉主义者就是建构主义者。最著名的建构主义—直觉主义者L.E.J.Brouwer（1913、1964）和A.Heyting（1931、1964、1956）。较近的数学家E.Bishop（1967）采用了建构主义的纲领，这个建构主义的纲领通过建构性手段重建了分析的实体性部分。今天各种形式的建构论依然很发达，例如哲学的直觉主义者M.Dummett（1973，1977）的工作。建构主义包容不同的观点，其中有：从绝对的直觉主义者（A.Yessenin-Volpin,1980），经过严格的哲学的直觉主义者（L.E.J.Brouwer），再经过走中间道路的直觉主义者（A.Heyting and early H.Weyl），现代逻辑直觉主义者（A.Troelstra），到各种各样有点自由主义倾向的建构主义者包括E.Bishop，L.Kalmar，G.Kreisel，P.Lorenzen，和P.Martin-Lf等。最近，严格的有限论（strict finitism）也被归结为建构论的思想阵营，这种观点的支持者人数不多，但很活跃。实际上，Rotman在1993年提出了一种新的严格有限论，这种观点认为人类生命在处理数学语言和记号系统时具有局限性。参见Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics ，Albany，State University of New York Press，1998：20.

[25] Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics ，Albany，State University of New York Press，1998：24.

[26] Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics ，Albany，State University of New York Press，1998：149.

[27] Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics ，Albany，State University of New York Press，1998：151.

[28] Paul Ernest：Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics ，Albany，State University of New York Press，1998：154.