美国之行

1896年秋，伯特兰夫妇赴美国，艾丽斯希望趁此机会去见见她在美国的家人。他们到达美国后，首先参观了位于新泽西州凯姆登市的美国诗人惠特曼的故居，随后又到了该州的一个名叫米尔维尔的工业小城。艾丽斯有位堂弟在这里的一家玻璃工厂担任经理，艾丽斯与堂弟的妻子私交甚笃。在堂弟家逗留了几天，他们又到艾丽斯的母校布林毛尔学院去拜访了校长嘉莉·汤玛斯。两人还被邀请在学院中做公开演讲，伯特兰的演讲是关于几何学的，而艾丽斯的演讲内容则是关于母性的。艾丽斯还曾私下和一些妇女们讨论政治权利与自由恋爱的话题。

随后，伯特兰夫妇到了马里兰州的巴尔的摩，住在艾丽斯的舅舅汤玛斯博士家里。汤玛斯博士有一个儿子，在约翰·霍普金斯大学医学院任教，是脑外科著名专家。他还有两个女儿，其中一个名叫海伦，在布林毛尔学院就读，为人温和而仁慈，可惜是个聋哑人，另一个是十分虔诚的正统教友派信徒。

当时，伯特兰尚寂寂无名，但通过汤玛斯博士的推荐和安排，霍普金斯大学邀请他前去演讲，演讲的主题与之前一样。

伯特兰夫妇还曾去过哈佛，但未多做逗留就返回了英国。

1897年，伯特兰专攻数学，曾出版了《几何学基础》。他经常到伦敦旅行，有时候到剑桥和怀特海、摩尔、麦克塔加等晤谈，有一时期还在剑桥研究力学。伯特兰说：“我逐渐发现力学原理中有些与哲学有关的东西，也与逻辑和教学有关。”

伯特兰也曾去过牛津，不过他对牛津的印象似乎并不好，他们对自己感兴趣的领域也不是十分熟悉。

1898年，麦克塔加计划到新西兰探亲，他找伯特兰帮他代课，伯特兰答应了。他所讲授的是德国大师莱布尼茨的哲学理论，他是17世纪后期的杰出哲学家、数学家、科学家，被誉为“17世纪的亚里士多德”。

伯特兰研究莱布尼茨实在是很偶然。莱布尼茨的哲学核心是“单元论”。自从显微镜发明以后，人们已经可以见到微小生物的活动情形，科学家们日渐相信，即便是一滴水中也有前所未知的东西存在。莱布尼茨又将科学引申到哲学上面，认为宇宙是由许许多多数不胜数的小部分构成，这种极小的部分被称为“单元”，它们具有独立的统一性格，每个“单元”都能从一定层面上反映整个宇宙，而且所有的独立单元都在各自的系统中运行。

伯特兰在讲授过程中，完全采取理智的态度，他详细思考、分析、研究，然后提出他独创性的诠释。不久后，一些从未出版过的莱布尼茨的手稿被人发现，证实了伯特兰独创性的见解完全正确，这使得伯特兰获得了声誉和成就感，后来伯特兰出版的《莱布尼茨哲学》便是他当时讲授的一些内容。

1898年，伯特兰的祖母去世，从这一年开始，伯特兰夫妇每年都要到剑桥待上一段时间，一直持续到1902年。那时候，他才开始从德国唯心论的浸**中挣脱出来。在这个过程中，摩尔对他的帮助很大，伯特兰后来说：“摩尔发现黑格尔的哲学不能适用于所有方面，我也发现它无法应用到数学上。经过摩尔的帮助，我终于挣脱了它，回到由数学逻辑所支配的常识世界来。”

《数学原理》

1900年，《莱布尼茨哲学》正式出版问世。同年7月，伯特兰和怀特海一同参加在巴黎举行的国际哲学会议，开始了他生命中的崭新的一章。

在这次会议上，伯特兰结识了意大利的著名数学家皮亚诺。对于皮亚诺，伯特兰可谓是久仰其名，他曾读过很多皮亚诺的著作，但却未曾下过功夫去研究皮亚诺的符号逻辑。在会议上，他发现皮亚诺比任何人都头脑清晰，他提出的论证也比一般人更能切中要害。经过深入的研究，伯特兰认为皮亚诺的记号法正是他多年以来一直寻求的逻辑分析的有力工具。一个月之后，伯特兰熟读了有关皮亚诺学派的所有著作，他还把这种数学理念推广到了逻辑学上，并计划撰写《数学原理》，目的是要建立“数学与逻辑基本上是相同”的理论。

怀特海夫妇和伯特兰住在同一地区，伯特兰曾把自己的构想告诉怀特海，他们经常在一起讨论。有时会遇到百思不解的难题，经过冥思苦想，难题终于解决时，那种心智上的愉悦，据伯特兰自己说，简直是如醉如痴，就好像在浓雾中爬山，登上山顶，云雾散尽，山下的农田、村落等景色尽收眼底。

1900年9月，伯特兰终于找到了始终困扰他的那些关于数学的问题的明确答案。在发现这些答案的过程中，伯特兰为数学领域引入了很多新的元素，使得数学研究更为简洁化、明晰化。

10月，伯特兰开始着手撰写《数学原理》，他和他的老师兼好友怀特海合作了将近十年之久。通常情况下，先由伯特兰拟好大纲，他和怀特海各负责一部分，各自分头去写，完成初稿后再相互交换审阅，并提出修改意见以供参考。伯特兰每天都写十页左右，在年底以前就完成了草稿。

伯特兰最初计划写两卷，第一卷是对一般日常语言的评论与介绍，第二卷则以象征符号为工具，提出严格的论辩。《数学原理》的第一卷于1903年出版，当时怀特海已出版了他的《一般代数》的第一册。他们合作的《数学原理》第二卷直到1910年才出版。

伯特兰和怀特海合作著述《数学原理》的这段漫长岁月里，两人之间友谊日渐深厚，他们每周都互相拜访，同时保持着密切的通信联络。

《数学原理》是伯特兰一生中最伟大的学术性巨著，他花了将近十年时间，倾注了极大的热情和精力，这部巨著也为他赢得了无比崇高的荣誉和地位。不过真正读过《数学原理》的人恐怕不多，就像大多数经典作品一样，虽然人们一致认为它极有价值，但却很少有人会静下心来仔细研究，即使那些专攻数学或逻辑学的人也不一定对它很熟悉。