第四课 剑桥名人榜——物理学奠基人牛顿
剑桥名言
善于钓鱼的人选用鱼喜欢的饵。
人物简介
艾萨克·牛顿爵士是人类历史上出现过的最伟大、最有影响的科学家，同时也是物理学家、数学家和哲学家，晚年醉心于炼金术和神学。他在1687年7月5日发表的不朽著作《自然哲学的数学原理》,用数学方法阐明了宇宙中最基本的法则——万有引力定律和三大运动定律。这四条定律构成了一个统一的体系，被认为是“人类智慧史上最伟大的一个成就”,由此奠定了之后3个世纪中物理界的科学观点，并成为现代工程学的基础。牛顿为人类建立起“理性主义”的旗帜，开启了工业革命的大门。牛顿逝世后被安葬于威斯敏斯特大教堂，成为在此长眠的第一个科学家。
牛顿爵士是英国皇家学会会员，是一位英国物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士，著有《自然哲学的数学原理》《光学》《二项式定理》和《微积分》。
他在1687年发表的论文《自然哲学的数学原理》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后3个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律，从而消除了对太阳中心说的最后一丝疑虑，并推动了科学革命。
在力学上，牛顿阐明了动量角动量守恒之原理。在光学上，他发明了反射式望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛顿与戈特弗里德·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。在2005年，英国皇家学会进行了一场“谁是科学史上最有影响力的人”的民意调查，牛顿被认为比阿尔伯特·爱因斯坦更具影响力。
天才降生
按照现代的历法，1643年1月4日，艾萨克·牛顿出生于英格兰林肯郡乡下的一个小村落伍尔索普村的伍尔索普(Woolsthorpe)庄园。在牛顿出生之时，英格兰并没有采用教皇的最新历法，因此他的生日被记载为1642年的圣诞节。牛顿出生前3个月，他同样名为艾萨克的父亲刚刚去世。由于早产的缘故，新生的牛顿十分瘦小。据传闻，他的母亲汉娜·艾斯库(Hannah Ayscough)曾说，牛顿刚出生时小得可以把他装进一夸脱的马克杯中。当牛顿3岁时，他的母亲改嫁并住进了新丈夫巴纳巴斯·史密斯(Barnabus Smith)牧师的家，而把牛顿托付给了他的外祖母玛杰里·艾斯库(Margery Ayscough)。年幼的牛顿不喜欢继父，并因母亲嫁给他而对母亲持有一些敌意，牛顿甚至曾经“威胁我那姓史密斯的父母亲，要把他们连同房子一齐烧掉……”
学生时代
大约从5岁开始，牛顿被送到公立学校读书。少年时的牛顿并不是神童，他资质平常、成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意儿，如风车、木钟、折叠式提灯等等。
传说小牛顿把风车的机械原理摸透后，自己制造了一架磨坊的模型，他将老鼠绑在一架有轮子的踏车上，然后在轮子的前面放上一粒玉米，刚好那地方是老鼠可望不可即的位置。老鼠想吃玉米，就不断地跑动，于是轮子不停地转动；又一次他放风筝时，在绳子上悬挂着小灯，夜间村里人看去惊疑是彗星出现；他还制造了一个小水钟，每天早晨，小水钟会自动滴水到他的脸上，催他起床。他还喜欢绘画、雕刻，尤其喜欢刻日晷，家里墙角、窗台上到处安放着他刻画的日晷，用以验看日影的移动。
牛顿12岁时进了离家不远的格兰瑟姆中学。牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿本人却无意于此，而酷爱读书。随着年岁的增大，牛顿越发爱好读书，喜欢沉思，做科学小实验。他在格兰瑟姆中学读书时，曾经寄宿在一位药剂师家里，使他受到了化学试验的熏陶。
牛顿在中学时代学习成绩并不出众，只是爱好读书，对自然现象有好奇心。例如颜色、日影四季的移动，尤其是几何学、哥白尼的日心说等等。他还分门别类地记读书笔记，又喜欢别出心裁地做些小工具、小技巧、小发明、小试验。
当时英国社会渗透基督教新思想，牛顿家里有两位都以神父为职业的亲戚，这可能影响牛顿晚年的宗教生活。从这些平凡的环境和活动中，还看不出幼年的牛顿是个才能出众、异于常人的儿童。
后来迫于生活，母亲让牛顿停学在家务农养家。但牛顿一有机会便埋首书卷，以至经常忘了干活。每次，母亲叫他同佣人一道上市场，熟悉做交易的生意经时，他便恳求佣人一个人上街，自己则躲在树丛后看书。有一次，牛顿的舅父起了疑心，就跟踪牛顿上市镇去，发现他的外甥伸着腿，躺在草地上，正在聚精会神地钻研一个数学问题。牛顿的好学精神感动了舅父，于是舅父劝服了母亲让牛顿复学，并鼓励牛顿上大学读书。牛顿又重新回到了学校，如饥似渴地汲取着书本上的营养。
据《大数学家》(Men of Mathematics,E·T·贝尔著)和《数学史介绍》(An introductionto the history of mathematics,H·伊夫斯著)两书记载：“牛顿在乡村学校开始学校教育的生活，后来被送到了格兰瑟姆的国王中学，并成为了该校最出色的学生。在国王中学时，他寄宿在当地的药剂师威廉·克拉克(William Clarke)家中，并在19岁前往牛津大学求学前，与药剂师的继女安妮·斯托勒(Anne Storer)订婚。之后因为牛顿专注于他的研究而使得爱情冷却，斯托勒小姐嫁给了别人。据说牛顿对这次的恋情保有一段美好的回忆，但此后便再也没有其他的罗曼史，牛顿也终生未娶。”
不过据和牛顿同时代的友人威廉·斯蒂克利(William Stukeley)所著的《艾萨克·牛顿爵士生平回忆录》(Memoirs of Sir Isaac Newton'sLife)一书的描述，斯蒂克利在牛顿死后曾访问过文森特(Vincent)夫人，也就是当年牛顿的恋人斯托勒小姐。文森特夫人的名字叫做凯瑟琳，而不是安妮，安妮是她的妹妹，而且夫人仅表示牛顿当年寄宿时对她只不过是“怀有情愫”的程度而已。
从12岁左右到17岁，牛顿都在国王中学学习，在该校图书馆的窗台上还可以看见他当年的签名。他曾从学校退学，并在1659年10月回到埃尔斯索普村，因为他再度守寡的母亲想让牛顿当一名农夫。牛顿虽然顺从了母亲的意思，但据牛顿的同侪后来叙述，耕作工作让牛顿相当不快乐。所幸国王中学的校长亨利·斯托克斯(Henry Stokes)说服了牛顿的母亲，牛顿又被送回了学校以完成他的学业。他在18岁时完成了中学的学业，并得到了一份完。美的毕业报告。
1661年6月，他进入了剑桥大学的三一学院。在那时，该学院的教学基于亚里士多德的学说，但牛顿更喜欢阅读一些笛卡儿等现代哲学家以及伽利略、哥白尼和开普勒等天文学家更先进的思想。1665年，他发现了广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学。在1665年，牛顿获得了学位，而大学为了预防伦敦大瘟疫而关闭了。在此后两年里，牛顿在家中继续研究微积分学、光学和万有引力定律。
微积分
大多数现代历史学家都相信，牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学，并为之创造了各自独特的符号。根据牛顿周围的人所述，牛顿要比莱布尼茨早几年得出他的方法，但在1693年以前他几乎没有发表任何内容，并直至1704年他才给出了其完整的叙述。其间，莱布尼茨已在1684年发表了他的方法的完整叙述。此外，莱布尼茨的符号和“微分法”被欧洲大陆全面地采用，在大约1820年以后，英国也采用了该方法。莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程，而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿声称他一直不愿公布他的微积分学，是因为他怕被人们嘲笑。牛顿与瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒(Nicolas Fatio de Duillier)的联系十分密切，后者一开始便被牛顿的引力定律所吸引。1691年，丢勒打算编写一个新版本的牛顿《自然哲学的数学原理》,但从未完成它。一些研究牛顿的传记作者认为他们之间的关系可能存在爱情的成分。不过，在1694年这两个人之间的关系冷却了下来。在那个时候，丢勒还与莱布尼茨交换了几封信件。
在1699年年初，皇家学会(牛顿也是其中的一员)的其他成员指控莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，争论在1711年全面爆发了。牛顿所在的英国皇家学会宣布，一项调查表明了牛顿才是真正的发现者，而莱布尼茨被斥为骗子。但在后来，发现该调查评论莱布尼茨的结语是由牛顿本人书写，因此该调查遭到了质疑。这导致了牛顿与莱布尼茨的激烈的微积分学论战，并破坏了牛顿与莱布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。这场争论在英国和欧洲大陆的数学家间划出了一道鸿沟，并可能阻碍了英国数学至少一个世纪的发展。
牛顿的一项被广泛认可的成就是广义二项式定理，它适用于任何幂。他发现了牛顿恒等式、牛顿法，分类了立方面曲线(两变量的三次多项式),为有限差理论做出了重大贡献，并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。他用对数趋近了调和级数的部分和(这是欧拉求和公式的一个先驱),并首次有把握地使用幂级数和反转(revert)幂级数。他还发现了π的一个新公式。
他在1669年被授予卢卡斯数学教授席位。在那一天以前，剑桥大学或牛津大学的所有成员都是经过任命的圣公会牧师。不过，卢卡斯教授之职的条件要求其持有者不得活跃于教堂。牛顿提出应免除他担任神职工作的条件，这需要查理二世的许可。后者接受了牛顿的意见，这样避免了牛顿的宗教观点与圣公会信仰之间的冲突。
光的微粒说
从1670年到1672年，牛顿负责讲授光学。在此期间，他研究了光的折射，表明棱镜可以将白光发散为彩色光谱，而透镜和第二个棱镜可以将彩色光谱重组为白光。他还通过分离出单色的光束，并将其照射到不同的物体上的实验，发现了色光不会改变自身的性质。牛顿还注意到，无论是反射、散射或发射，色光都会保持同样的颜色。因此，我们观察到的颜色是物体与特定有色光相合的结果，而不是物体产生颜色的结果。
从这项工作中，他得出了如下结论：任何折光式望远镜都会受到光散射成不同颜色的影响，并因此发明了反射式望远镜(现称作牛顿望远镜)来回避这个问题。他自己打磨镜片，使用牛顿环来检验镜片的光学品质，制造出了优于折光式望远镜的仪器，而这都主要归功于其大直径的镜片。1671年，他在皇家学会上展示了自己的反射式望远镜。皇家学会的兴趣鼓励了牛顿发表他关于色彩的笔记，这在后来扩大为《光学》(Opticks)一书。但当罗伯特·胡克批评了牛顿的某些观点后，牛顿对其很不满并退出了辩论会。二人自此以后成为敌人，一直持续到胡克去世。
牛顿认为光是由粒子或微粒组成的，并会因加速通过光密介质而折射，但他也不得不将它们与波联系起来，以解释光的衍射现象。而其后世的物理学家们则更加偏爱以纯粹的光波来解释衍射现象。现代的量子力学、光子以及波粒二象性的思想与牛顿对光的理解只有很小的相同点。
在1675年的著作《解释光属性的解说》(Hypothesis Explaining the Properties ofLight)中，牛顿假定了以太的存在，认为粒子间力的传递是透过以太进行的。不过牛顿在与神智学家亨利·莫尔(Henry More)接触后重新燃起了对炼金术的兴趣，并改用源于汉密斯神智学(Hermeticism)中粒子相吸互斥思想的神秘力量来解释，替换了先前假设以太存在的看法。拥有许多牛顿炼金术著作的经济学大师约翰·梅纳德·凯恩斯曾说：“牛顿不
是理性时代的第一人，他是最后的一位炼金术士。”但牛顿对炼金术的兴趣却与他对科学的贡献息息相关，而且在那个时代炼金术与科学也还没有明确的区别。如果他没有依靠神秘学思想来解释穿过真空的超距作用，他可能也不会发展出他的引力理论。
1704年，牛顿著成《光学》,其中详述了光的粒子理论。他认为光是由非常微小的微粒组成的，而普通物质是由较粗微粒组成的，并推测：如果通过某种炼金术的转化，难道物质和光不能互相转变吗?物质不可能由进入其结构中的光粒子得到主要的动力(Activity)吗?牛顿还使用玻璃球制造了原始形式的摩擦静电发电机。
牛顿力学
1679年，牛顿重新回到力学的研究中：引力及其对行星轨道的作用、开普勒的行星运动定律、与胡克和弗拉姆斯蒂德在力学上的讨论。他将自己的成果归结在《物体在轨道中之运动》(1684)一书中，该书中包含初步的、后来在《原理》中形成的运动定律。
《自然哲学的数学原理》(现常简称作《原理》)在埃德蒙·哈雷的鼓励和支持下出版于1687年7月5日。该书中牛顿阐述了其后200年间都被视作真理的三大运动定律。牛顿使用拉丁单词“gravitas”(沉重)来为现今的引力命名，并定义了万有引力定律。在这本书中，他还基于波义耳定律提出了首个分析测定空气中音速的方法。
由于《原理》的成就，牛顿得到了国际性的认可，并为他赢得了一大群支持者。牛顿与其中的瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒建立了非常亲密的关系。直到1693年他们的友谊破裂。这场友谊的结束让牛顿患上了神经衰弱。
晚年生活
由于受时代的限制，牛顿基本上是一个形而上学的机械唯物主义者。他认为运动只是机械力学的运动，是空间位置的变化；宇宙和太阳一样是没有发展变化的；靠了万有引力的作用，恒星永远在一个固定不变的位置上。
随着科学声誉的提高，牛顿的政治地位也得到了提升。1689年，他当选为国会中的大学代表。作为国会议员，牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。他不时表示出对以他为代表的领域的厌恶。同时，他的大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹等进行科学优先权的争论上。
晚年的牛顿在伦敦过着堂皇的生活，1705年他被安妮女王封为贵族。此时的牛顿非常富有，被普遍认为是生存着的最伟大的科学家。他担任英国皇家学会会长，在他任职的24年时间里，他以铁拳统治着学会。没有他的同意，任何人都不能被选入学会。
晚年的牛顿开始致力于对神学的研究，他否定哲学的指导作用，虔诚地相信上帝，埋头于写以神学为题材的著作。当他遇到难以解释的天体运动时，提出了“神的第一推动力”的理论。他说“上帝统治万物，我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他"。
1727年3月31日，伟大的艾萨克·牛顿逝世。同其他很多杰出的英国人一样，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上镌刻着：让人们欢呼这样一位多么伟大的人类荣耀曾经在世界上存在。
大事年表
1643年1月4日，牛顿出生于林肯郡乌尔索普。1655年，12岁的牛顿入格兰瑟姆中学学习。1661年，19岁的牛顿入剑桥大学三一学院学习。1665年，牛顿发现二项式定理。
1665～1666年，牛顿因鼠疫流行回到家乡，对光学、力学、数学有多方面的研究和突破。1668年，牛顿制成反射式望远镜；1669年，著《论用无限项方程所做的分析》,任卢卡斯讲座教授；1671年，著《级数和流数方法论著》。1672年，30岁的牛顿当选为皇家学会会员，宣读《关于光和颜色的理论》的论文。1684年，42岁的牛顿会见哈雷，证明引力平方反比定律；1686～1687年，著《自然哲学的数学原理》。
在力学方面的贡献
牛顿在伽利略等人工作的基础上进行深入研究，总结出了物体运动的三个基本定律(牛顿三定律):第一定律(惯性定律)。任何一个物体在不受任何外力或受到的力平衡时(Fnet=0),总保持匀速直线运动或静止状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。
第二定律。牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。力和加速度同时产生、同时变化、同时消逝。F=ma是一个矢量方程，应用时应规定正方向，凡与正方向相同的力或加速度均取正值，反之取负值，一般常取加速度的方向为正方向。根据力的独立作用原理，用牛顿第二定律处理物体在一个平面内运动的问题时，可将物体所受各力正交分解，在两个互相垂直的方向上分别应用牛顿第二定律的分量形式：Fx=max,Fy=may列方程。牛顿第二定律的六个性质。(1)因果性：力是产生加速度的原因。(2)同体性：F合、m、a对应于同一物体。(3)矢量性：力和加速度都是矢量，物体加速度方向由物体所受合外力的方向决定。牛顿第二定律数学表达式ZF=ma中，等号不仅表示左右两边数值相等，也表示方向一致，即物体加速度方向与所受合外力方向相同。(4)瞬时性：当物体(质量一定)所受外力发生突然变化时，作为由力决定的加速度的大小和方向也要同时发生突变；当合外力为零时，加速度同时为零，加速度与合外力保持一一对应关系。牛顿第二定律是一个瞬时对应的规律，表明了力的瞬间效应。(5)相对性：自然界中存在着一种坐标系，在这种坐标系中，当物体不受力时将保持匀速直线运动或静止状态，这样的坐标系叫惯性参照系。地面和相对于地面静止或做匀速直线运动的物体可以看作是惯性参照系，牛顿定律只在惯性参照系中才成立。(6)独立性：作用在物体上的各个力，都能各自独立产生一个加速度，各个力产生的加速度的矢量和等于合外力产生的加速度。
第三定律。(F表示作用力，P表示反作用力，负号表示反作用力，与作用力F的方向相反)这3个非常简单的物体运动定律，为力学奠定了坚实的基础，并对其他学科的发展产生了巨大影响。第一定律的内容伽利略曾提出过，后来笛卡儿做过形式上的改进，伽利略也曾非正式地提到第二定律的内容。第三定律的内容则是牛顿在总结C·雷恩、J·沃利斯和C·惠更斯等人的结果之后得出的。
牛顿是万有引力定律的发现者。他在1665～1666年开始考虑这个问题。万有引力定律(Law of universal gravitation)是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。1679年，R·胡克在写给他的信中提出：引力应与距离平方成反比，地球高处抛体的轨道为椭圆，假设地球有缝，抛体将回到原处，而不是像牛顿所设想的轨道是趋向地心的螺旋线。牛顿没有回信，但采用了胡克的见解。在开普勒行星运动定律以及其他人的研究成果上，他用数学方法导出了万有引力定律。
牛顿把地球上物体的力学和天体力学统一到一个基本的力学体系中，创立了经典力学理论体系，正确地反映了宏观物体低速运动的宏观运动规律，实现了自然科学的第一次大统一。这是人类对自然界认识的一次飞跃。
牛顿指出流体黏性阻力与剪切率成正比。他说：流体部分之间由于缺乏润滑性而引起的阻力，如果其他都相同，与流体部分之间分离速度成比例。现在把符合这一规律的流体称为牛顿流体，其中包括最常见的水和空气；不符合这一规律的称为非牛顿流体。
在给出平板在气流中所受阻力时，牛顿对气体采用粒子模型，得到阻力与攻角正弦平方成正比的结论。这个结论一般地说并不正确，但由于牛顿的权威地位，后人曾长期奉为信条。20世纪，T·卡门在总结空气动力学的发展时曾风趣地说，牛顿使飞机晚一个世纪上天。
关于声的速度，牛顿正确地指出，声速与大气压力平方根成正比，与密度平方根成反比。但由于他把声传播当作等温过程，结果与实际不符，后来皮埃尔·西蒙·拉普拉斯从绝热过程考虑，修正了牛顿的声速公式。
在数学方面的贡献
二项式定理。在1655年，刚好22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。
二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。在今天我们会发觉这个方法只适用于n是正整数，当n是正整数1、2、3……,级数终止在正好是n+1项。如果n不是正整数，级数就不会终止，这个方法就不适用了。但是我们要知道，那时莱布尼茨在1694年才引进函数这个词，在微积分早期阶段，研究超越函数时用它们的级来处理是所用方法中最有成效的。
创建微积分
17世纪以来，原有的几何和代数已难以解决当时生产和自然科学所提出的许多新问题。例如：如何求出物体的瞬时速度与加速度?如何求曲线的切线及曲线长度(行星路程)、矢径扫过的面积、极大极小值(如近日点、远日点、最大射程等)、体积、重心、引力等等；尽管牛顿以前已有对数、解析几何、无穷级数等成就，但还不能圆满或普遍地解决这些问题。当时笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对牛顿的影响最大。牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术(微分)和反流数术(积分),反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》3篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率。他说的“差率”、“变率”就是微分。与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二项式展开定理。牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等。1684年莱布尼兹从对曲线的切线研究中引入了和拉长的S作为微积分符号，从此牛顿创立的微积分学在大陆各国迅速推广。
微积分的出现，成了数学发展中除几何与代数以外的另一重要分支——数学分析(牛顿称之为“借助于无限多项方程的分析"),并进一步发展为微分几何、微分方程、变分法等等，这些又反过来促进了理论物理学的发展。例如瑞士J.伯努利曾征求最速降落曲线的解答，这是变分法的最初始问题，半年内全欧数学家无人能解答。1697年，一天牛顿偶然听说此事，当天晚上一举解出，并匿名刊登在《哲学学报》上。伯努利惊异地说：“从这锋利的爪中我认出了雄狮。”
微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为“流数术”。它所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿以前已经得到人们的研究了。但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的结论加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。
牛顿没有及时发表微积分的研究成果，他研究微积分可能比莱布尼茨早一些，但是莱布尼茨所采取的表达形式更加合理，而且关于微积分的著作出版时间也比牛顿早。
在牛顿和莱布尼茨之间，为争论谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场轩然大波，这种争吵在各自的学生、支持者和数学家中持续了相当长的一段时间，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了100年。
1707年，牛顿的代数讲义经整理后出版，定名为《普遍算术》。他主要讨论了代数基础及其(通过解方程)在解决各类问题中的应用。书中陈述了代数基本概念与基本运算，用大量实例说明了如何将各类问题化为代数方程，同时对方程的根及其性质进行了深入探讨，引出了方程论方面的丰硕成果。如：他得出了方程的根与其判别式之间的关系，指出可以利用方程系数确定方程根之幂的和数，即“牛顿幂和公式”。
牛顿对解析几何与综合几何都有贡献。他在1736年出版的《解析几何》中引入了曲率中心，给出密切线圆(或称曲线圆)概念，提出曲率公式及计算曲线的曲率方法，并将自己的许多研究成果总结成专论《三次曲线枚举》,于1704年发表。此外，他的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域。
牛顿在前人工作的基础上，提出“流数(fluxion)法”,建立了二项式定理，并和G.W.莱布尼茨几乎同时创立了微积分学，得出了导数、积分的概念和运算法则，阐明了求导数和求积分是互逆的两种运算，为数学的发展开辟了一个新纪元。
在光学方面的贡献
牛顿曾致力于颜色的现象和光的本性的研究。1666年，他用三棱镜研究日光，得出结论：白光是由不同颜色(即不同波长)的光混合而成的，不同波长的光有不同的折射率。在可见光中，红光波长最长，折射率最小；紫光波长最短，折射率最大。牛顿的这一重要发现成为光谱分析的基础，揭示了光色的秘密。牛顿还曾把一个磨得很精、曲率半径较大的凸透镜的凸面，压在一个十分光洁的平面玻璃上，在白光照射下可看到，中心的接触点是一个暗点，周围则是明暗相间的同心圆圈。后人把这一现象称为“牛顿环”。他创立了光的“微粒说”,从一个侧面反映了光的运动性质，但牛顿对光的“波动说”并不持反对态度。1704年，他出版了《光学》一书，系统阐述他在光学方面的研究成果。
热学方面的贡献。牛顿确定了冷却定律，即当物体表面与周围有温差时，单位时间内从单位面积上散失的热量与这一温差成正比。
天文学方面的贡献。牛顿1672年创制了反射望远镜。他用质点间的万有引力证明，密度呈球对称的球体对外的引力都可以用同质量的质点放在中心的位置来代替。他还用万有引力原理说明潮汐的各种现象，指出潮汐的大小不但同月球的位相有关，而且同太阳的方位有关。牛顿预言地球不是正球体。岁差就是由于太阳对赤道突出部分的摄动造成的。
在哲学方面的贡献
牛顿的哲学思想基本属于自发的唯物主义，他承认时间、空间的客观存在。如同历史上一切伟大人物一样，牛顿虽然对人类做出了巨大的贡献，但他也不能不受时代的限制。例如，他把时间、空间看作是同运动着的物质相脱离的东西，提出了所谓绝对时间和绝对空间的概念；他对那些暂时无法解释的自然现象归结为上帝的安排，提出一切行星都是在某种外
来的“第一推动力”作用下才开始运动的说法。
《自然哲学的数学原理》是牛顿最重要的著作，1687年出版。该书总结了他一生中许多重要发现和研究成果，其中包括上述关于物体运动的定律。他说，该书“所研究的主要是关于重、轻流体抵抗力及其他吸引运动的力的状况，所以我们研究的是自然哲学的数学原理”。该书传入中国后，中国数学家李善兰曾译出一部分，但未出版，译稿也遗失了。现有的中译本是数学家郑太朴翻译的，书名为《自然哲学之数学原理》,1931年商务印书馆初版，1957年、1958年两次重印。
苹果落地
一个偶然的事件往往能引发一位科学家思想的闪光。这是1666年夏末一个温暖的傍晚，在英格兰林肯州乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻人走进他母亲家的花园里，坐在一棵树下，开始埋头读他的书。当他翻动书页时，他头顶的树枝中有样东西晃动起来。一只历史上最著名的苹果落了下来，打在23岁的牛顿的头上。恰巧在那天，牛顿正苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，以及使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上?为什么这只打中他脑袋的苹果会坠落到地上?正是从思考这一问题开始，他找到了这些问题的答案——万有引力理论。由于牛顿的《自然哲学的数学原理》一书用的是欧几里得几何学的表述方式，它是一个严密的、完美的体系，书中没有叙述苹果落地的故事，致使许多人对苹果落地一说持保留意见。实际上，牛顿的亲戚和朋友多次证实苹果落地的故事。
法国文学家、科学家伏尔泰曾追忆过，他在牛顿去世前一年，即1726年去英国时，听牛顿的继姊妹说过，一天，牛顿躺在苹果树下，忽然看到一个苹果落地，引起了他的思考。牛顿灵机一动，脑中突然形成一种观点：苹果落地和行星绕日会不会由同一宇宙规律所支配的?从而悟出了万有引力定律。牛顿晚年的一位密友斯多克雷也明确提到，在1742年4月的一天，和牛顿共进午餐后，一起来到牛顿家后园，并在苹果树下饮茶。在谈话中“他(指牛顿)告诉我正是在过去同样情况下，注意引力的思想出现在他的脑海里，那是在一棵苹果树下偶然发生的，当时他处于沉思冥想之中”。
还有牛顿晚年的另一位密友潘伯顿在有关追忆牛顿的著作中，也谈及因苹果落地而引起验证引力平方反比关系的故事。牛顿在晚年再次讲述当时苹果的故事，那时离苹果落地时已经超过60年了，为什么一个老人对此事记忆那么深刻?我认为有两个原因：首先是因为万有引力定律是一项举世瞩目的辉煌的成果，当事人对触发灵感的事件当然是深深的激动和怀念的；其次是与胡克的争执也留下深深的记忆，牛顿就从一个侧面澄清事实真相，应该认为苹果落地一说的事实是成立的。
牛顿与伪币
作为英国皇家铸币厂的主管官员，牛顿估计大约有20%的硬币是伪造的。伪造货币在英国是大逆罪，会被处以车裂的极刑。尽管这样，为那些恶名昭著的罪犯定罪是异常困难的；不过，事实证明牛顿胜任这项任务。
他通过掩饰自己的身份而搜集了许多证据，并公之于酒吧和客栈里。
英国的法律保留了古老且麻烦的习惯，以给起诉设置必要的障碍，并将政府部门从司法中分离开来。牛顿为此当上了太平绅士，并在1698年6月到1699年圣诞节期间引导了对200名证人、告密者和嫌疑犯的交叉讯问。牛顿最后得以胜诉，并在1699年2月执行了10名罪犯的死刑。后来，他下令将所有的讯问记录予以销毁。
也许牛顿最伟大的胜利是以国王法律代理人的身份与威廉·查洛纳(WilliamChaloner)对质。查洛纳密谋策动一起假的天主教阴谋活动，然后检举那些不幸被他诱骗来的共谋者。在向国会的请愿中，查洛纳控告铸币厂有偿地将工具提供给了造伪币者，并请求国会允许他检查铸币厂的生产过程以证明他的控告。他还请求国会采纳他所谓的“无法伪造的造币过程”,以及同时打击假币的计划。牛顿被激怒了，并开始着手调查，以查出查洛纳做过的其他事。在调查中，牛顿发现查洛纳参与了伪币制造。他立即起诉了查洛纳，但查洛纳先生在高层有一些朋友，因此他被无罪释放了，这让牛顿感到不满。在第二次起诉中，牛顿提供了确凿的证据，并成功地使查洛纳被判处大逆罪。1699年3月23日，查洛纳在泰伯恩行刑场被车裂。
对科学研究的痴情
牛顿对于科学研究专心到痴情的地步。据说有一次牛顿煮鸡蛋，他一边看书一边干活，糊里糊涂地把一块怀表扔进了锅里，等水煮开后，揭盖一看，才知道错把怀表当鸡蛋煮了。还有一次，一位来访的客人请他估价一具棱镜。牛顿一下就被这具可以用作科学研究的棱镜吸引住了，毫不迟疑地回答说：“它是一件无价之宝!”客人看到牛顿对棱镜垂涎三尺，表示愿意卖给他，还故意要了一个高价。牛顿立即欣喜地把它买了下来，管家老太太知道了这件事，生气地说：“咳，你这个笨蛋，你只要照玻璃的重量折一个价就行了!”有一次牛顿请朋友吃饭，准备好饭菜后，自己却钻进了研究室，朋友见状吃完后便不辞而别了，牛顿出来时发现桌上只剩下残羹冷饭，以为自己已经吃过了，就回去继续进行研究实验。牛顿用心之专注被传为佳话。
牛顿少年时代在一首诗里表白自己的远大抱负：世俗的冠冕啊，我鄙视它如同脚下的尘土，它是沉重的，而最佳也只是一场空虚；可是现在我愉快地欢迎顶荆棘冠冕，尽管刺得人痛，但味道主要的是甜；我看见光荣之冠在我的面前呈现，它充满幸福，永恒无边。
可以说，每一个伟大的科学家，都是富有**、富有理想的诗人，但牛顿是一个追求用科学中的光线谱来解释他的理想的特殊类型的诗人。他让他的思想展翅飞翔，以整个宇宙作为藩篱。在他的整个心田里，填满了自然、宇宙。也许这是他终身未娶的最根本原因。不过，牛顿并没有完全与爱情绝缘，他一生中甚至有过两次恋爱。
牛顿23岁正在剑桥大学求学时，由于剑桥发生了瘟疫，学校放假，牛顿回到乡下，住在舅父家里。在那里，他爱上了美丽、聪明、好学、富有思想的表妹。表妹也很喜欢这个学识渊博、卓见非凡的大学生。他们常常一起散步。牛顿喜欢即兴发表长篇讲话，他的讲话内容又多是他正在学习和研究的问题。表妹虽听不懂，但她还是耐心地听，似乎觉得很有趣。牛顿在心里想：“这样一个可爱的女子，对于我所讲的觉得这样有味，我一定很不错。当然，她的脑筋一定也很好，是个不平凡的女子。如果能得到她的帮助，解决我的许多困难问题，与我共同工作，那该多好啊!"
但是牛顿生性腼腆，并未及时向表妹表白心中的爱情。等他回到剑桥大学后，又聚精会神地沉浸到科学研究中去了。他早已忘记了远方的乡村还有一位美丽的少女在等着他。他对个人生活一直不予重视，而她的表妹
却误以为牛顿对她冷淡，便择夫，因而醉心于科学研究的牛顿便耽误了一次收获爱情的大好时机。牛顿实在太忙了，他连做梦想的也是宇宙、世界。他往往领带不结，鞋带不系好，马裤也不扣好，就走进大学餐厅。尽管如此，牛顿毕竟是个年轻人，还有一颗浪漫的心。
有一次，“青春迫不及待的**”催使他向一位年轻姑娘求婚。他轻轻地握着她的手，含情脉脉地看着这位美人。正在这紧要关头，他的心思忽地溜到另一个世界去了。他的头脑中只剩下无穷量的二项式定理。他像做梦似的，下意识地抓住情人的一个手指，把它当成是通烟斗的通条，硬往烟斗里塞。姑娘痛得大叫一声，他才清醒过来。面对吃惊的姑娘，他连忙像只绵羊似的柔声道歉：“啊，亲爱的，饶恕我吧!我知道，我是不行了。看来，我是该打一辈子光棍!”
姑娘饶恕了牛顿，却无法理解他，爱情又成了泡影。科学上许多新的问题不断扑向牛顿的脑海，他整个热情都集中到了科学事业上。此后那种“青春的热情”再也没有涌现出多彩的旋律。
剑桥大学参议院曾经是最高立法机关，但是目前唯一的职责是选举校长。参议院成员包括所有获得剑桥大学硕士以上学位的学生或教授。大学会议全称参议院会议，负责日常行政工作，成员共21人，包括校长、副校长和19名由选举产生的成员。19人包括4名学院院长代表、4名教授代表、8名来自摄政院的其他成员和3名学生代表。前三类成员由摄政院选举产生，学生代表则由学生选举产生。