哪吒与八戒
一天,八戒和哪吒遇上了。八戒喜欢开玩笑,摇晃着脑袋说:“三头六臂的小妖精,到哪去?”
小哪吒听后,怒发冲冠,大吼一声:“气煞我也,变!”
瞬间变做三头六臂,6只手分别拿着6种兵器:剑、刀、索、杵、绣球、火轮,气势汹汹地朝八戒打来。八戒见状不妙,舞动钉耙迎战,两人打了起来。
打了10个回合,哪吒见没有占到便宜,喊“换!”6只手拿着得兵器顷刻间交换了手中的位置。哪吒不断的变换手里兵器位置,八戒忙晕了。
八戒大胖身子实在招架不住了,忙说:“小兄弟,别打啦,我说你这6只手一共有多少种不同的拿法呀?”
哪吒说:“720种!服不服?”
八戒撇嘴说:“骗谁呢!切!”
哪吒让5只手依次拿着剑、刀、索、杵、绣球,对八戒说:“看着,我5只手拿的兵器先不变,第六只手只有拿火轮,是几种啊?”
“嗯,是一种拿法。”八戒说。
哪吒又让4只手依次拿着剑、刀、索、杵,第五、六只手轮换拿绣球、火轮,共有两种拿法。说:“现在呢?”
“嗯,是两种拿法。”八戒说。
哪吒再让3只手依次拿着剑、刀、索,另3只手变换拿法:“看好了啊!”
“不行不行,我晕喽!”八戒摸摸脑袋说。
哪吒笑骂:“真笨!你看啊,3个数:1=1,2=1×2,6=1×2×3。我固定两只手,剩下的4只手随意拿,可有1×2×3×4=24种拿法。我6只手都随意拿呢?不就是1×2×3×4×5×6=720种不同拿法。”
八戒一声“我服了你了”,一路烟地跑了。
其实哪吒6只手里兵器的拿法是可以算出来的。你肯定听说过排列组合吧。小学就接触过一部分的。从n个不同的元素中,取r个不重复的元素,按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用P(n,r)表示。排列的个数用A表示。当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为C。这就是排列。
从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,r)表示,组合的个数用C表示,对应于可重组合,有记号C,这就是组合。
排列组合之所以比较难,是因为:一是从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力;二是限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解;三是计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大;四是计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。
我给大家介绍下两个基本计数原理:一是加法原理和分类计数法:这就用上了“加法原理”、“加法原理的集合形式”、“分类的要求”。
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同,分类不重;完成此任务的任何一种方法,都属于某一类,这样的分类就不会漏了。
二是乘法原理和分步计数法:“乘法原理”、“合理分步的要求”。任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这几步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同。
好了,学习小哪吒吧。看看下题:
有9个号码的球,从1到9。你知道可以组成多少个三位数?
123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,属于“排列P”计算范畴。
我们从任何一个号码中只能用一次,可以确定:不会出现“988,997”
之类的组合,我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数有9-1种可能,个位数上有9-1-1种可能。最终有9×8×7个三位数。计算公式=P(3,9)=9×8×7(从9倒数3个数的乘积)=504。
那么,有从1到9共计9个号码球,请问,如果3个一组,代表“一个部落”,可以组合成多少个“部落”?
213组合和312组合,代表同一个组合,只要3个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于组合“C”计算范畴。
将所有的包括排列数的个数去除掉,属于重复的个数即为最终组合数C=(9×8×7)/(3×2×1)=84。
思维小故事
没装胶卷的相机
仲夏的一天,阳光明媚,风和日丽,鹅鼻川风景区游人如织,一派热闹的景象。摄影师薛剑倚着石炮台的矮墙,眺望着长江,欣赏着眼前这一派壮丽的绝妙景色。他拿起放在石凳上的摄影包,打开包盖,准备拿出他的心爱的宾得相机,好拍照片。可他打开包盖,顿时惊呆了:他的宾得相机不翼而飞了。
他立即抬眼朝四周望去,发现不远处有一个穿T恤衫的男子,正在向人群中挤去,手里好像拎着一台宾得照相机。
薛剑马上快步如飞地追上了那个人,从后面一把拉住了那人的衣裳。
那人被拉住了,返身责问薛剑:“你拉着我的衣裳干什么?”
薛剑指着他手上的照相机说:“我刚才丢了一台这样的照相机。”
“你丢了照相机管我什么事?”那人反唇相讥,“难道只有你一个人买得起照相机吗?”
薛剑向四周一看,拎着同类相机的人很多,但他依稀记得这个男子刚才曾站在他的身边,现在又想挤进人群溜走,凭感觉断定这个人一定是小偷。可现在自己无凭无据,小偷怎肯承认呢?
猛然间,薛剑急中生智,说道:“我的照相机里已装上了胶卷。”
那人马上反驳道:“这又能说明什么问题呢,谁的相机里不装胶卷呢?”
薛剑听了此话。更加确定了这个人一定是小偷,便抓住话头,问道:“请问你在相机里装的是什么牌子的胶卷?”
“金奖柯达。”那人随口答道。
薛剑又问:“请问你拍了几张?”
那人有些不耐烦了:“我拍了几张关你什么事?你说这相机是你的,你能说出拍了几张吗?”
“我能,”薛剑说,“不过,现在要邀请一个人来验证一下。”
这时,围观的人越来越多,薛剑就请一位戴着“纠察”袖套的工作人员作公证人。
仅仅过了两分钟,公证人就当众宣布:“薛剑是相机的拥有者。这个人是小偷!”
薛剑是如何通过公证人让小偷认罪的呢?
参考答案
薛剑故意在公证人耳边低语一会儿,还用手指做了个“八”的手势,然后大声地对那个人说:“我已向公证人讲了拍几张的数字,现在该轮到你了。”那个人有些心虚,也附在公证人身旁说了几句话,他猜测薛剑的手势一定是说拍了8张,于是便当众说:“我拍了8张!”
公证人待这个人说完后,举着相机当众宣布说:“这位叫薛剑的人刚才悄悄告诉我说相机里根本没有装胶卷,而这个人却说装的是柯达,而且拍了8张。我告诉你们,薛剑说的是对的,他刚才打的手势‘八’是故意迷惑这个人的。”