青蛙飞天

有一只青蛙跳进一条东西方向的水泥管道中,每次可以选择向东跳也可以向西跳。青蛙第一次跳1的平方厘米,第二次跳2的平方厘米……第19次跳19的平方厘米。青蛙跳完19次后,必须达到距原位置东方２００８厘米处。假设青蛙完成此任务的方案中最后一跳向西的距离为ｎ的平方厘米,请问所有可能中ｎ最小值是多少?

参考答案

假设跳了ｎ步。将往西方向跳的距离之和记计ｓ,那么这距离ｓ为一些完全平方数之和。

那么依题意有:１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２－２ｓ＝２００８。

即有:ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)÷６＝２００８＋２ｓ。

好了,我们进行如下的尝试:

ｎ≤１７时,上式左边≤１７×１８×３５÷６＝１７８５,而右边≥２００８,不可能,即被排除掉;

ｎ＝１８时,上式左边＝１８×１９×３７÷６＝２１０９,而右边是偶数,不可能,因此被排除掉;

ｎ＝１９时,上式左边＝１９×２０×３９÷６＝２４７０,于是可求得ｓ＝２３１。现在要考察ｓ是否能写成几个完全平方数之和。好了,我们就可以知道２３１＝１９６＋２５＋９＋１＝１４２＋５２＋３２＋１２。由此可知,只跳１９步即可满足要求。

方法是:其中第１步、第３步、第５步以及第１４步都向西跳,其余的步数均向东跳就可以做到。这样就可以知道,ｎ最小为１９。

还是这只青蛙,好不容易从水泥管道中跳出来,一用力,不好!掉进了枯井里,它要往上爬３０尺才能达到井口,每小时它总是爬３尺,又滑下２尺。问这只倒霉的青蛙需要多少小时才能爬到井口?

参考答案

28小时。

看起来这只倒霉的青蛙每小时只往上爬3-2=1(尺)的距离,但爬了27小时后,它再爬1小时,往上爬了3尺,就已经到达了井口,可以从井里出来了,它不会再叫自己滑下2尺的。因此,答案是28小时,而不是我们按每小时爬1尺得来的30小时。因为最后1小时跟以前的1小时是不一样的。这点你想到了吗?

思维小故事

小侦探的判断

美国艾达维尔城有个名叫勒鲁瓦.布朗的少年。他父亲是这个城里的警察局长。小布朗从小聪慧过人,受到父亲的影响,他对破案有特殊的兴趣。艾达维尔城是个规模不大的城市,但经常有犯罪案件发生,不过有了办事认真的警察局长,这里的案犯很少能逃脱法网。使人惊奇的是,布朗局长经常得到他儿子勒鲁瓦的帮助,所以人们称勒鲁瓦为小侦探。

一天晚上,全家正在吃晚饭的时候,布朗局长对儿子勒鲁瓦说:“在逃犯纳蒂又作案了,他抢劫了狄龙和琼斯合股开设的西服店。”

关于在逃犯纳蒂的情况,小侦探勒鲁瓦是知道一些的。该犯自从监狱逃出后,一个月内作了5次案,不过都是在农村和公路上作的案,想不到这次竟在城里作起案来。勒鲁瓦因为有疑问,所以问道:“爸爸,你怎么知道那抢劫西服店的强盗就是纳蒂呢?”

父亲说:“那是西服店的合伙老板之一狄龙提供的情况。”说着,他拿出了一本笔记本念着狄龙原话的笔录:“当时店里只有我一个人,突然有个男人闯进来喝道:'举起手来!'我吃了一惊,急忙抬头一看,站在我面前的正是在逃犯纳蒂。他身穿灰大衣,后面束着皮带,和报纸上登载的完全一样。纳蒂命令我脸朝墙壁。在他的威胁之下,我只好听从他的话。等我回过头来时,他已经溜掉了,店里的钱财被他抢劫一空。”

小侦探勒鲁瓦听完了笔录,问道:“爸爸,报上登载过纳蒂的照片吗?”

“登过,不过相貌模糊不清,主要的特征就是灰大衣和背后束着皮带,这是人所共知的。”

勒鲁瓦说:“这个案件很容易解决。”

布朗局长惊讶地问:“现在连纳蒂的踪影都无从了解,怎么就可以破案了呢?”

勒鲁瓦说:“我是说狄龙的西服店根本没来过什么强盗。”

“噢—”布朗局长经儿子提醒,似乎也在思索这个问题,“那你认为狄龙在撒谎了?对此,你是怎么断定的呢?”

案件查清后,证实了小侦探的推测,原来狄龙想吞占店里的公款,又不想让他的合伙人知道,所以把自己的罪过推到强盗身上装在逃犯纳蒂一个月里作了５次案,狄龙认为他最适合做自己的替罪羊。

你知道勒鲁瓦是怎么断定的吗?

参考答案

按狄龙介绍,强盗进门时,开始面对强盗,后来又面对墙壁,这就根本看不到强盗背后束着皮带,所以狄龙在撒谎。