第7章 量子台球
一天，汤普金斯先生结束了银行漫长的工作，他忙了一整天房产方面的业务，在回家的路上感到非常疲惫。这时正好路过一家酒馆，决定进去喝一杯麦芽啤酒。汤普金斯先生一杯接着一杯下肚，很快酒劲就上来了，感到头晕晕的。在酒馆的后面有一个台球室，里面挤满了人，套着套袖，围着中间的那张桌子在玩台球。他模模糊糊想起来之前自己来过这里，是一个同事带他过来的，还教了他怎么打台球。他走近那张桌子开始看人家怎么玩。这时一件非常怪异的事发生了！有个玩家将一个球放在了桌子上，然后用球杆撞了它一下。看着那个滚动着的台球，汤普金斯先生吃惊地注意到那个球开始“散开”。“散开”这个词是他唯一能找到的来描述这个球的怪异行为的一个词，那个球在滚过绿色的台毯时，似乎变得越来越看不清，原本清晰的轮廓逐渐模糊。它看起来不像是一个球滚过桌子，而是有大量的球，它们彼此都有一部分是相互重叠的。汤普金斯先生之前经常看到类似的现象，但是今天他没有喝威士忌呀，他无法理解眼前发生了什么。“好吧，”他想道，“让我们瞧瞧这个烂烂的球是怎么撞另一个球的吧。”
击球的这个玩家很明显是个高手，那个滚动的球就像人们想要的一样，正中另一个球。撞击的那一刻发出了一声巨响，原来静止的那个球和撞来的那个球（汤普金斯先生没办法明确分辨哪个是哪个），两者都向“四面八方”快速滚去。是的，这太奇怪了。现在再也不是两个看起来松松垮垮的台球，而变成了无数个球，全部都变得非常模糊、非常松垮，在原来撞击方向的大约180°的范围内向外滚去，就像是从撞击点向外散开的一个独特的波。
“S波散射。”汤普金斯先生身后响起一个熟悉的声音，他听出来是教授。“那现在，”汤普金斯先生大声问道，“有什么东西又弯曲了吗？我看这桌子非常平。”
白球向四面八方散开
“你说得对，”教授回答，“这里的空间是平整的，你所观察到的其实是一种量子力学现象。”
“噢，是矩阵！”汤普金斯先生带着嘲讽的语气小心翼翼地说道。
“或者说是，运动的不确定性。”教授这么说。
“这间台球室的主人收集到这里的东西都遭受着，如果要我自己命名的话，‘量子巨化现象’。实际上自然界中所有物体都遵循着量子规律，但是在这些现象中起主导作用的所谓的量子常数是非常小的。事实上，它的数值是在小数点之后还有27个零的数字。然而，对于这里的台球，量子常数就很大了——大约为整1——你轻易地就可以用肉眼观察到量子现象，而在一般情况下科学家们只能通过非常灵敏的、复杂的方法来进行观察。”说到这里，教授沉思了一会儿。接着他继续说道，“我并不想要去追究，但是我想知道那个老板是从哪里搞到这些球的。严格来讲，这些球不存在于我们的世界中。对现在我们这个世界的所有物体来讲，量子常数是同样的一个很小的数值。”
“也许他是从另一个世界把它们进口过来的，”汤普金斯先生假设道。不过教授并不满意这个回答，始终保持着怀疑态度。“你已经注意到了，”教授继续说，“那两个球都‘散开’了。这意味着它们在球桌上的位置是相当不确定的。实际上你不能很精确地标明每个球的位置，最多你只能说球‘几乎在那里’，以及‘部分在其他地方’。”
“这太非同寻常了。”汤普金斯先生喃喃。
“恰恰相反，”教授坚持说，“它绝对正常，从任何物体上都会发生这种现象的这个意义上来说。只不过是因为量子常数的数值太小以及一般的观测方法太粗糙，所以人们没有注意到这种不确定性。于是他们得到一个错误的结论，认为位置和速度都是可确定的量。事实上，这两个量从某种程度上来说都是不可确定的，而且其中一个测量越是准确，另一个就越散开，测不准。量子常数主导着这两个不确定性之间的关系。——看这里，我要把这个球放到一个木头三角框里，它的位置就被限制住了。”
这个球一放进木框里，整个三角框内部就闪烁着象牙色的光芒。
“快看！”教授喊道，“我把台球的位置限定在三角框几英寸的范围里了。这导致了速度相当大的不确定性，球在木框里面才会快速运动。”
“你不能让它停下吗？”汤普金斯先生问。
“不能，从物理学来讲是不可能的。任何物体在一个密闭空间里都会有一定的运动——我们物理学家称为零点运动。举个例子，任何原子内部的电子的运动，都是零点运动。”
当汤普金斯先生注视着木框中的球像困在笼子里的老虎一样猛冲直撞时，发生了一件极不寻常的事。那个球直接从三角框的框壁中“露”了出来，接着就朝桌子遥远的一角滚去。奇怪之处就在于它真的不是跳出了框，而是穿过框壁，没有离开过台面哪怕一毫米。
“看吧，”汤普金斯先生对教授说，“你的‘零点运动’逃走了。这符合你说的规律吗？”
“当然符合，”教授说，“事实上，这正是量子理论最有意思的后果之一。只要一个物体有足够大的能量穿过墙壁后逃出，就不可能把它关在一个封闭的空间里。这个物体迟早要‘露出’围墙跑掉。”“那我以后再也不会去动物园了。”汤普金斯先生断然地说。他那生动活泼的想象力立刻就描绘出一幅吓人的画面：狮子和老虎纷纷穿透它们的笼子出来吃人了。不过他又转念一想：想到了原本好好锁在车库里的汽车会不会自己“露出来”，就像中世纪的鬼魂一样穿车库的墙而出。
“我要等多久呢，”他问教授，“才能看到一辆汽车——不是用这里的材料制造的，而是用普通的货真价实的钢材造的——它从砖头建的车库围墙‘露出来’？我非常想看到这一场景呢！”
就像中世纪的鬼魂
教授在大脑中飞快地计算了一下，准备好了答案：“大约需要等1 000 000 000…000 000年。”
就算汤普金斯先生已经习惯了银行账户上出现的巨额数字，他还是数不清教授所说的数字有多少个零——至少数字是够长了，他完全不用担心自己的车会跑掉。
“假设我相信你所说的一切，我还是不明白，如果我们没有这些球在这里，那怎么能够观察到这些现象呢？”
“这是一个合理的质疑，”教授说，“当然我的意思并不是说在你日常能够接触到的一些大物件上可以观察到量子现象。我的点在于量子规律的效应只有在应用到非常小的物质如原子或电子上时，才更可能被注意到。对于这些粒子来说，量子效应已经大到普通力学不适用的程度了。两个原子之间的碰撞看起来正如你刚刚所观察到的两个台球的碰撞，一个原子内部电子的运动就与我放在三角框中的台球的‘零点运动’极为相似。
“那么原子是不是经常会跑出来？”汤普金斯先生问道。
“是的，它们经常跑出来。你当然已经听说过放射体这种物质，其内部原子自动分解，发射出速度非常快的粒子。这样的原子，它的中心部分称作原子核——就相当于一个车库，原子核里的粒子就相当于被锁在车库里的车。它们会穿过原子核壁——有时分裂之后一秒都不会继续待在原子核内部。在这些原子核内部，量子现象变得相当寻常可见。”
经过这一漫长的谈话，汤普金斯先生感到非常疲倦，心不在焉地环顾着四周。他的注意力被房间角落里放着的一个老爷钟吸引了。它长长的老式钟摆慢慢地摇来摇去。
“我看你对这个摆钟很感兴趣，”教授说，“这也是一个不寻常的机械——不过在现在看来它已经过时了。这个摆钟就代表着人们最初考虑量子现象时所采用的方法。它的钟摆的放置方法就使得它的摆幅只能在有限的范围内增加。然而现在，所有的钟表匠都选择采用获得专利的散开摆。”
“天哪，我多希望能理解这一切复杂的东西！”汤普金斯先生惊叹。
“很好，”教授接过话来，“我本来在去往我关于量子理论的讲座的路上，从窗外看见你在，我就进来了。现在是时候去讲座了，可不能迟到。你愿意跟我一起去吗？”
“当然，我愿意！”汤普金斯先生答应。
一如往常，巨大的演讲厅里坐满了学生，即使是坐在台阶上，汤普金斯先生都感到很愉快。
女士们，先生们：
在我前两次的讲座中，我努力向大家展示了，由于发现了所有物理速度的上限，以及分析了直线的概念，我们完全重建了关于时间和空间的古典概念。
然而，对物理学基础进行批判性分析的发展，并不会停滞在这个阶段，接着又出现了更多惊人的发现和结论。我接下来要讲的是被称为量子理论的一个物理学科分支，它与时间和空间自身的性质没有多大关系，但是与物质在时空中的运动和相互作用却有较大的关系。
在古典物理学中，人们似乎不需要证明就能接受一个观点，两个物体之间的相互作用可以降到无限小，只要实验条件允许，有必要的话还可以降到零。比如说，在研究某些过程中所产生的热时，人们担心放进温度计会把一部分热量带走，从而导致所要观察的正常的过程出现干扰，那么实验者们总是确信采用比较小的温度计或者是非常迷你的温差电偶，就能把干扰项降低到所要求的精确度极限以下。
人们很确信，从原理上讲，任何一个物理过程都可以用任意所需要的精确度来观察，观察本身不会对过程造成影响。没有人想过把这一种说法提出来详细地阐述，并且总是把相关的所有问题都归结为纯粹的技术困难。然而，自20世纪初开始所积累的新的实验事实，不断地使物理学家们得出结论，认为真实的情况要复杂得多。在自然中存在一个确定的相互作用下限，这个下限永远不能被超越。这个天然的精确度极限微乎其微可以忽略不计，我们日常生活中熟悉的所有过程都可以不考虑这个精确度，但是当我们在研究原子或分子这样的微小的力学系统中所发生的过程时，这个极限就变得相当重要了。
1900年，德国物理学家马克思·普朗克在从理论上研究物质与辐射之间的平衡条件时，得出了一个令人惊讶的结论，认为达到平衡是不可能的，除非我们假设物质与辐射之间的相互作用，并不如我们设想的那般是连续发生的，而是通过一系列的分开的“冲击”来实现的，那么在每一次的基本的相互作用中，物质与辐射之间转移的能量是一定的。为了达到想要的平衡，也为了使理论得到实验事实的证明，就有必要在每次冲击所转移的能量和能量转移的过程的频率（周期的倒数）之间引入一个简单的数学比例关系。
因此，普朗克不得不用符号h来指代比例系数，能量转移的最小能量，或者说是量子，可以用以下公式表示：
公式中v代表辐射的频率，常数h的数量值是6.626×10-34焦耳·秒，这通常被称为普朗克常数或者量子常数。正因为常数的数值极小，所以我们日常生活中的量子现象几乎不能被观察到。
普朗克这一想法的发展归功于爱因斯坦，在这个想法提出后的几年，爱因斯坦得出一个结论，辐射不仅仅在发射时才形成一个个有限的、分离的部分，它一直以这样的方式存在，辐射是由许多分离的能量包组成的，他把能量包称为光量子。
只要光量子在运动，那么除了会有能量hv外，它们也会有一定的动量，根据相对论力学，这个动量就相当于它们的能量除以光速c。要记住，光的频率与它的波长λ之间存在一个关系，光量子的动量公式就是：
由于一个运动的物体所产生的力学作用取决于它的动量，我们必须得出结论：光量子的作用随着波长的减小而增大。
对于光量子与光量子具有的能量和动量这个观点的正确性，有一个最佳的实验事实可以证明。这个实验是由美国物理学家康普顿提出的。他在研究光量子和电子的碰撞时，得到了这样的结果，在光线的作用下电子开始运动，它的表现就与被一个具有上面两个公式中的能量和动量的粒子击中时相同。光量子本身，在与电子碰撞之后也表现出了一些变化（体现在频率上），这与之前理论假设非常相符。
目前，我们可以说，就其与物质的相互作用而言，辐射的量子性质已经是完全确定的实验事实了。
对量子概念进一步发展的是著名的丹麦物理学家玻尔，他于1913年首次提出一个观点：任何一个力学系统内部的运动都可能具有仅一套可能的能量值，运动只能通过有限的幅度来改变其状态。在每一次这样的迁移中，都会辐射出一定量的能量。确定力学系统各种可能状态的数学法则要比现在这个辐射的公式复杂得多。我们在这里就不深入探讨公式了。我们只应该表明，就像在光量子中，光动量是由光的波长决定的，那么在力学系统中，任何一个运动的粒子的动能都与它所运动的空间区域的集合维度有关，以下公式可以表示出它的数量级：
这里的l指的是运动区域的线性尺寸。由于量子常数数值是极小的，所以只有对在类似于原子和分子内部这样小的空间里的运动，量子现象才尤其重要。它们在我们物质内部结构的知识中扮演着非常重要的角色。
这类微小的力学系统具有一套分离态的一个最直接的证明，是弗兰克和赫兹做的实验。他们在用不同能量的电子轰击原子时发现，只有当轰击的电子的能量达到某一分离值时，原子的状态才会发生变化。如果电子的能量低于某一极限，在原子中就不会观察到任何现象，因为每一个电子所携带的电量不足以把电子从第一个量子态提升为第二个量子态。
因此，在量子理论发展的这个最初准备阶段结束时，所出现的状况不能说是对古典物理学的基本概念和原理进行修改，而只是用相当神秘的量子条件对古典物理学或多或少设置了一些人为限制。从古典物理学中可能出现的连续的、多样的运动中挑选出来一套分离的“允许”状态。不过，如果我们更深入地去研究古典力学定律和我们现今扩展了的经验所要求的量子条件之间的关系，我们就会发现，把这两个结合起来得到的系统在逻辑上就没有一贯性，而且经验的量子限制会使古典力学所基于的关于运动的基本概念变得毫无意义。事实上，在古典理论中关于运动的基本概念是，任何一个运动的粒子在任何一个既定的瞬时在空间中占有确定的位置，而且拥有一个确定的速度，这个速度指的就是随着时间的变化粒子在运动轨迹上位置变化的情况。
位置、速度和轨迹，古典力学整个的精致的建筑就是基于这些基本概念而建成的。正如我们所有其他概念一样，这些概念是在我们对周边现象的观察中形成的。就像古典的时空概念，一旦我们的经验延伸到新的、先前未曾探索过的区域时，它也会面临影响深远的修改。
如果我问某个人，他为什么会相信任何一个运动的粒子在任意一个既定的瞬时都占有确定的位置，从而可以根据时间的变化而描绘出一条确定的轨迹，他最有可能回答：“因为当我观察运动的时候，我是这么看的。”让我们来分析一下这种形成古典轨迹概念的方法，看一看他是不是真的能得到确定的结果。为了达到这一目的，我们设想一下一个物理学家，他配备有各种各样最精密的仪器，尝试着去追踪一个从他的实验室墙上扔下的小物体的运动。他决定通过“看”物体如何运动来进行观察。为了更好地看到物体，他用了一个小而非常精准的经纬仪。当然，要想看到移动的物体，就需要把它照亮。他知道光线会对物体产生一种压力，而且可能打扰它的运动，于是决定只在观察的瞬时才用短时间的闪光来照明。在第一组实验中，他只想观察轨迹上的10个点，所以他把闪光源选得很微弱，这样10次连续照明中光压所产生的总效应在他所需要的精确度之内。因此，在物体掉落的过程中闪光灯闪10次，以他所希望的精确度，他在轨迹上获得了10个点。
现在他想重复这个实验，想获得100个点。他知道100次连续照明会太过影响整体的运动了，因此在准备进行第二组观察时，他把闪光强度降低到了第一次的到第三组观察时，他想要获得1000个点，于是他把闪光灯强度降到了第一次的。
按照这个方法将实验观察进行下去，持续地降低闪光灯的强度，他想在轨迹上获得多少点就能获得多少点，而误差不会增大到超过他起初选定的限度。这一高度理想化设计在原则上来说是可行的操作流程，是通过“看运动的物体”来建立运动轨迹的一个严格的有逻辑的方法。你看，在古典物理学框架中，这完全是可行的。
但现在让我们来看一看，如果我们引进了量子限制，并且考虑任何一种辐射的作用都只能通过光量子的形式进行转移这一事实，那么会发生什么情况呢？我们已经看到我们的观察者在持续地减少照明运动物体的光的数量，现在我们必定会预料到，一旦他把光的数量减少到只有一个量子，他就会发现观察做不下去了，数量没有办法再继续减少了。这时，要么是整个光量子都从运动的物体上反射出来，要么就是什么都没有反射，而且在第二种情况下，根本观察不了。当然，我们知道光量子碰撞所产生的效应会随着波长的增加而降低，我们的观察者也知道这一点。为了增加观察次数，他一定会采用较长波长的光，观察次数越多，波长就越长。但这样他还是会遇到另一个困难。
众所周知的是，在采用某一波长的光时，我们不能看到比这个波长更小的细节。事实就是没有人能用刷墙漆的刷子来画波斯细密画！因此，随着用的光波长越来越长，他就不能推测出每一个点的位置，然后很快就发现他所做的每一个推测都是不确定的，推测的点甚至会比他的实验室还要大。最终他被迫妥协，不得不在观察点的数量和每一个点的不确定性之间采取一个适中的方法，他永远都得不到像他古典学同事们所得到的数学曲线一样精确的轨迹了。他得到的最好的结果可能就是一条相当宽的模糊的带子，如果他基于自己的实验结果而建立自己的轨迹概念，那么这个概念将与古典概念大相径庭。
弹簧上的小铃铛
上面所讨论的方法是光学的方法，现在我们可以尝试另外一个可能性，采取一个机械的方法。为了达到实验目的，我们的实验者可以设计一些精巧的机械装置，比如说安装一些弹簧，弹簧上扣上小铃铛，每当有物体靠近它们的时候，它们就会把这个物体所经过的路线记录下来。他可以把大量这样的装置分布到运动物体预料中可能经过的空间，然后物体经过以后，“响着的铃铛”就显示了它的运动轨迹。在古典物理学中，人们想要这些“铃铛”多小、多灵敏都可以，在无限数量、无限小的铃铛的极限情况下，可以用一个想要的精确度来形成一个轨迹概念。然而，机械系统中的量子限制又一次破坏了这个情况。如果“铃铛”太小了，根据上面那个公式（3），它们从运动物体中取走的动量就会太大，即使只有一个铃铛被击中，整个运动都会受到干扰。如果铃铛大，那么每个位置的不确定性也就非常大了。最后得出的轨迹依旧还是一个散开的带子！
我担心以上关于实验者观察轨迹的探讨，会给大家造成一种太看重技术的印象。你可能更倾向于认为，尽管我们的观察者无法用现在采用的方法来推测轨迹，但如果用上某些更为复杂的装置，就能得到想要的结果。不过，我一定要提醒你，我们在这里讨论的不是在某个物理实验室里进行的某个特定的实验，而是把最普通的物理测量问题理想化了。只要是存在于我们这个世界上的任何一种作用，要么可以归于辐射作用，要么就归于纯机械作用。任何一种精致的测量方法都必定离不开这两种方法的要素，最后都导向了相同的结果。至于我们理想的“测量仪器”可以涵盖物理世界所有的现象，我们最后应该得出结论，认为在量子定律起主导作用的世界里，像准确的位置和形状精确的轨迹这样的东西，是不存在的。
让我们再回到我们的实验者身上，他想求出量子条件所强加的限制的数学公式。我们已经知道了，用过的两种办法中，位置的测定与运动速度物体的干扰之间存在着冲突。在光学的方法中，因为力学的动量守恒定律，粒子受到光量子的撞击后，必定会带来粒子动量的不确定性，与所用的光量子的动量相当。因此，根据上面的公式，我们可以写出粒子动量不确定性的公式：
想起粒子位置不确定性是取决于波长的，我们推导出：
在力学方法中，运动粒子的动量被“铃铛”取走了一部分，所以造成了不确定性，运用之前的公式（3），再想一想在这个案例中粒子位置的不确定性是由铃铛的大小决定的，于是我们又得到了与前面一个相同的公式。由此可见，由德国物理学家海森堡最先求出的这个公式，代表了基础的不确定性，是量子理论最基本的不确定关系式（5）。这个关系式表明，位置测得越准确，动量就变得越不准确，反之亦然。
再回想到动量是运动粒子的质量和速度的乘积，我们可以得出：
对于我们常见的物体来说，这个动量小得滑稽。即使对于质量只有0.000 000 1克的较轻的尘埃粒子，它的位置及速度都是可以测量的，而且精确度为0.000 000 01%！不过，对于电子（质量为10-29克）来说，?v?q的乘积大约达到100的数量级。在原子内部，电子的速度应该确定在±1010厘米／秒的范围内，否则它将会逃出原子。这样，位置的不准确性就等于10-8厘米，即与整个原子一样大了。因此，电子在原子中的“轨道”就散开了，在这种情况下，轨迹的“厚度”等于它的“半径”。此时电子将会同时出现在原子核周围的每一处。
在过去的二十分钟里，我努力向大家展示我们批判古典运动概念所带来的灾难性后果。现在那些优美的、精确定义的古典概念已经支离破碎，给那些我称为一团糨糊的东西留出了空间。你自然而然地可能会问我，物理学家究竟打算如何从无数的不确定性的观点中去描述一个物理现象呢？
现在我们可以讨论一下这个问题。很明显，如果我们由于位置和轨迹都散开，一般不能从数学的点上来定义物质粒子的位置，也不能用数学的线来定义粒子的运动轨道，那么我们就应该用其他的描述方法，这么说吧，“烂糊糊在空间中不同的点的密度”。从数学上说，这意味着需要用到连续函数（流体力学中用的那种）；从物理上来讲，这要求我们采用诸如此类的表达方式“物体大部分在这里，一部分在那里，还有一部分在那里”或者“这枚硬币75%在我口袋里，25%在你口袋里”。我知道这些表达吓到你了，但是由于量子常数的值非常小，你在日常生活中永远不会碰到它们。不过如果你要是打算去研究原子物理学，我强烈建议你先习惯这种表达。
在这里我必须警告你们的是，不要产生一种错误的想法，认为这种描述“出现密度”的函数在我们日常三维空间里具有物理现实意义。实际上，如果我们描述两个粒子的行为，我们就必须回答当第一个粒子出现在一个地方的时候，第二个粒子出现在什么地方的问题。要做到这个，我们就不得不采用有6个变量（2个粒子各有3个坐标）的函数，而这样的函数不能在三维空间中适用。对于更复杂的系统，必须采用含有更多变量的函数。从这个意义上来讲，“量子力学函数”类似于古典力学中粒子系统的“势函数”或者类似于统计力学系统中的“熵”。它只描述运动，帮助我们在既定的条件下预测某一特定运动可能的结果。只有在我们描述粒子运动的时候，它才具有物理的现实意义。
描述一个粒子或粒子系统出现在不同地方的可能性有多少的函数，需要某种数学上的标记，根据奥地利物理学家薛定谔的看法，他首先写出了定义这种函数行为的方程，这个函数一般用符号“ΨΨ”来表示。
我不想在这里讨论他的基本方程的数学证明，但我希望大家注意一下导出这个方程的必要因素。其中最重要的一点也是最不寻常的：这个方程的形式必须使得描述这个物质粒子运动的函数显示出所有的波动特性。
有必要将波动特性归因于物质粒子运动，这一观点的首次提出者是法国物理学家德布罗意。他基于自己对原子结构的理论研究提出了这一观点。在接下来的许多年里，物质粒子运动的波动特性受到了很多实验者的证明，展现了一些现象，比如一束电子穿过小小的开口衍射出去，又比如在相对于较大又较复杂的粒子如分子中也会发生干涉现象。
从古典运动概念的角度，我们所观察到的物质粒子波动特性绝对是无法理解的，对此，德布罗意被迫提出了一个相当不自然的角度：粒子在某种波的“陪伴”下，可以说，“引导了”它的运动。
不过，一旦古典概念被推翻，我们要用连续函数来描述运动，关于波动性质的要求就变得更能够理解了。它不过是在说，我们“ΨΨ”函数的传播并不类似于热量透过墙壁这样的传播，而是类似于机械变形（声音）透过墙壁的这种传播。从数学的角度，这就要求我们所寻求的方程式是确定的且严格的。这个基本条件，以及额外要求（我们的方程式在用于量子效应可以不考虑的大质量粒子时，应该变成古典力学中的方程），实际上将寻找方程式这一难题变成了纯数学练习。
如果你对方程式的最后形态感兴趣，我写在这里给你看看：
在这个方程式中，U代表作用于粒子（质量为m）上的力势。该方程对于任何一种既定的力场分布中运动的问题，都给出了明确的解答。这一“薛定谔波动方程”的应用，在它被提出后的四十年间，帮助物理学家对原子世界中所发生的所有现象都能描绘出最完整、最逻辑连贯的图画。
你们当中有些人一定在想，直到现在我还没有说出那个在量子理论中经常被提及的术语——“矩阵”。我必须得承认，从个人角度，是相当讨厌这种矩阵的，更偏向于不考虑它们。但是为了不让你们完全不知道量子理论中这一数学工具，我稍微讲一下。正如你们所看到的，人们在描述粒子运动或者一个复杂的力学系统时，都是用某个确定的连续波函数。这些函数常常相当复杂，可以看作由许多比较简单的振动，所谓的“本征函数”组成的，就像是一个复杂的声响是由许多简单的谐波音符组成的。
我们可以通过给出它的不同分量的振幅，来描述出复杂的运动系统。既然分量（泛音）的数量是无限的，那么我们就必须写一个振幅无限表格，用以下形式表示：
以上的表格，遵循着比较简单的数学运算法则，被称为“矩阵”，与某一特定的运动相对应。一些理论物理学家喜欢用矩阵来运算，而不用波函数本身。因此，“矩阵力学”，他们有时会这么称它，就是寻常的“波动力学”在数学上的改变，在这些讲座中，我的主要目的是讲清楚主要的基本的物理问题，我们不需要太过深入这些数学问题。
很遗憾，时间不允许我向大家描述量子理论在与相对论相结合之后取得的进展。这一发展主要归功于英国物理学家狄拉克的研究工作，他带来了许多有趣的研究点，同时也提出了以下极为重要的实验发现。以后我可能会回到这些问题上来讲讲，但是现在我必须结束讲座了。我希望这一系列讲座能够帮助你对物理世界现在的概念有一个清晰的了解，并希望能激起你们深入研究的兴趣。