第4章 教授关于弯曲空间、引力和宇宙的讲座
女士们，先生们：
今天我将要讨论的问题是关于弯曲空间以及其与引力现象的关系。你们中的任何一位都能够很容易地想象出一条曲线或者一个曲面，对于这点，我丝毫没有怀疑。不过一旦提到三维的弯曲空间，你们的脸就会拉得老长了，你们会想，这是某种极不寻常近乎超自然的东西。那么是什么原因让人们普遍对弯曲空间产生“恐惧”？难道这个概念真的比曲面的概念更难理解吗？要是你们稍微思考一下，你们当中就有很多人可能会说，难以想象出一个弯曲空间是因为无法像观察一个球的弯曲的表面，或者打另外一个比方，观察尤其是像马鞍一样弯曲的表面，来“从外部”对它进行观察。然而，说这些话的人不过是证明了他们自己并不懂曲率的严格数学意义而已。实际上，曲率一词的数学意义与它普通的用法是大不相同的。我们数学家将某个面称为曲面，是因为在这个面上所画的几何图形的性质不同于在平面上画的同一几何图形的性质，我们是以它偏离欧几里得古典法则的程度来测量它的曲率。如果你在一张平面的白纸上画一个三角形，那么正如你从基础几何学中学到的，这个三角形内角的总和就等于两个直角之和。你可以将这张纸弯成圆柱形、圆锥形，甚至是更加复杂的形状，但是在纸上的三角形的内角和依旧保持等于两个直角。
这种表面的几何性质不随上述的这些形变而改变，从“内在”曲率的角度来看，形变后所形成的表面（在一般概念中是弯曲的）就和平面一样平坦。但是如果你不把一张纸撕开，就无法把它与一个球面或者鞍形面完全贴合，而且假设你想要在一个球体上画一个三角形（即球面三角形），那么欧几里得那些几何学基本原理就不再成立了。事实上，举个例子，我们可以用北半球任意两截经线与两者间的那段赤道形成一个三角形，那么这时这个三角形的两个底角都是直角，而顶角则可以是任意大小的角度。在这样的情况下，三角形的内角和就大于两个直角了。
恰恰相反，你会很惊讶地发现，在一个鞍形面上，三角形的内角和永远会小于两个直角。
这么看来，决定一个表面的曲率就需要研究这个表面的几何性质，而从外部来观察这一方法往往是具有误导性的。仅仅通过这种观察，你可能会将圆柱面与环面划为同一类别，而事实上圆柱面是平面，而环面是无法矫正的曲面。一旦你习惯了曲率这一新的严格的数学概念，就不再难理解物理学家们在讨论我们所居住的空间是不是弯曲的时候所指的是什么意思了。关键问题就是要找出物理空间中的几何性质能不能符合欧几里得基本定理。
不过，当讨论实际的物理空间的时候，我们首先要做的就是给出几何学中术语的物理定义，尤其是要阐明我们所理解的构成形状的直线的概念。
我猜在座的各位都明白，一条直线段最为广泛的定义就是两点间最短的距离。在两点间拉一根细绳就可以得到这条直线段，或者也可以通过另外一个类似但又更加精细的过程得出，即通过实验来找到两点之间存在一条线段，它测量出来的长度是最小的。
为了证明这些找直线的方法所得出的结果是取决于物理条件的，让我们想象有一个巨大的圆形平台，它绕着自己的轴匀速地转动着。一位实验者想要测量出这个圆台外围两点间的最短距离。他手里有一盒子的小尺子，每个五英寸长，他将它们一个一个以最少的数量从一个点连接到另一个点。如果这个平台没有在旋转，那么他摆出尺子的线路就如图中我们虚线所示。
但是由于平台的旋转，正如我之前的讲座中所说的，他手中的测量尺正在经历着相对论性收缩，所以那些更靠近平台边缘（也因此具有更大线速度）的尺子要比靠近中心的尺子收缩更多一些。所以就明确了，为了使每个尺子覆盖的距离尽可能大，实验者就需要尽可能地把它们往圆的中心放。但是，既然直线的两端固定在圆的边缘，要将直线中间段的尺子移得太靠近中心也是不对的。
所以两种情况中和一下就可以得出结果，即圆上两点间的最短距离是向圆心轻微凸起的一条曲线。
如果实验者们不用一个一个单独的尺子，取而代之的是在两点之间拉一条线，那么得出的结果明显是一样的。因为这条线的每一部分都和单独的尺子一样，受着相对论性收缩的影响。在此我想强调的是当圆台开始旋转时，实验者们拉的线条所发生的形变与离心力产生的影响毫无关系。实际上无论这根线条的拉力有多强，这种形变都是不会变的，更不必在意普通的作用在相反方向的离心力。
假设现在圆台上的观察者想要验证自己得出的结果，将自己得到的直线与一束光线做对比，那么他将会发现那束光线就沿着他拉的那条直线传播。当然，站在圆台边的观察者们，在他们看来，光线根本没有弯曲，而是会将站在圆台上移动的观察者们得出的结果解释为忽略了平台的旋转与光线的直线传播，然后告诉你，如果你在旋转的留声机唱片上画一条直线，唱片上的划痕也一定是弯曲的，而不是直的。
然而，站在旋转的圆台上的观察者们认为，把他所看到的曲线叫成直线也是非常有道理的。它是两点间最短的距离，而且它恰好与他所在的参照系里的光线重合。假设此时他在圆的边缘选三个点，然后将它们用直线连上，从而形成一个三角形。那么在这个例子中，三角形内角的和就小于两个直角，由此他可以正确地得出结论说，他所处的空间是弯曲的。
再举一个例子，让我们假设在圆台上的另外两个观察者（2和3），他们决定通过测量圆台的直径和周长来确定数据。2号观察者的测量尺不会受到旋转的影响，因为它的移动方向总是与它本身相垂直。而3号观察者的测量尺会随着圆台的旋转而收缩，所以他得出的圆周长会比静止的圆台的圆周长长一些。将3号得出的结果数据除以2号观察者的数据，我们会发现得出的结果比教材书本上给出的π值要大，这再一次证明了空间曲率的存在。
不仅是长度的测量会受到旋转运动的影响。据我之前的讲座内容，放在圆周边的手表具有相对较大的速率，因此也会比放在圆心的手表走得慢一些。
假设两位实验者（4和5），他们在圆盘的中心对过了表。然后5号实验者带着表在圆盘边站了一段时间，回到圆心后发现他的表比一直待在圆心的4号实验者的表慢了许多。由此他会得出结论，在圆盘的不同地方，物理进程的速率都各不相同。
再假设现在我们的实验者们停下实验，对他们刚刚在几何学测量中得出的异常的数据进行小小的反思。同样假设圆台此时是封闭的，形成了一个旋转的没有窗户的房间，这样实验者们就不会通过周边环境的移动而发现自己在旋转。那么在这样的情况下，撇去平台相对于“静止的平地”做旋转运动的因素不谈，他们能不能把在平台上观察到的所有现象都解释为物理条件呢？
通过对比寻找圆台上的物理条件和“静止平地”上的物理条件，就可以解释所观察到的几何性质的变化了。实验者们会立刻注意到，存在一个新的力量，将平台上的所有物体都从圆心往边缘方向拉去。自然而然地，他们将这些观察到的现象归因于这种力的作用。在这种新的力的作用下，两只手表中距离圆心较远的那只手表走得会相对慢些。
但这种力真的是“新的”力吗？从来没有在“静止的平地”上出现吗？我们没有观察到所有物体都被所谓的重力撤离地球中心吗？当然，在一个案例里，我们的注意点在圆盘的边缘，而在另一个案例里，我们的注意点在地球中心。但是这两个案例唯一存在的一个不同就是力的分布。不过，我很容易就可以给你另外一个例子。与我们现在这个会议室所处的重力场极为类似的一个参照系中，不匀速的运动形成了“新的”力。
假设有一艘专门进行星际航行的宇宙飞船，自由地飘浮在太空的某个地方，离任何一颗恒星都很遥远，所以飞船内不受任何引力的作用。因此，在这样一艘飞船里的所有物体，包括身在其中的实验者们，他们都没有任何重力，他们自由地在空气中飘浮着，就像凡尔纳著名的小说中阿尔丹和他的旅伴在飞往月球的途中一样。
此时，引擎发动了，我们的飞船开始移动，渐渐地速度增快了。那么飞船里面将会发生什么呢？很容易就能看出，只要飞船在加速，它内部的所有物体都会显示出朝飞船底部运动的倾向，或者可以换句话说，同样的意思，飞船底部将朝着这些物体运动。假设，我们的实验者手里拿着一个苹果，然后放手，那么这个苹果会以固定的速度继续运动（相对于飞船外的恒星来说），这一速度就是放开苹果那一瞬间飞船移动的速度。但飞船本身一直在加速，结果就是船舱底部一直运动得越来越快，最终赶上了那个苹果并且撞上它，自这个瞬间往后，苹果将永远与船舱底部保持接触，并以稳定的加速度压在船舱上。
而在飞船内的实验者看来，这一系列过程就像是苹果以一定的加速度在“下落”，然后在击中底部之后凭着自身的重力压在底部。扔下不同的物体，他就会进一步发现所有这些物体掉落的加速度都相同（如果他忽略空气的摩擦），然后就会想起来这正是伽利略所发现的自由落体定律。事实上，他根本不能发现在他加速的船舱中的现象和一般重力现象之间最细微的差别。他可以使用带钟摆的时钟，把书摆在书架上也不用担心它们会飞走，也可以在钉子上挂一幅爱因斯坦的肖像，正是爱因斯坦首先提出了参照系的加速度与重力场是等效的，他还以此为基础发展出了广义相对论。
但是在这里，就像第一个旋转的圆台的例子一样，我们也会发现伽利略和牛顿在研究重力时所不知道的现象。穿过船舱的光线将会弯曲，投射到对面墙上挂着的屏幕上的不同位置，当然，这可以解释为光的匀速直线运动与船舱加速度运动相叠加的结果。船舱内的基础几何定理也必定是不成立的。三条光线组成的三角形的内角和会大于两个直角，而一个圆的圆周与其直径的比将大于通常的数值π。在这里，我们所考虑的两个加速度系统是最简单的例子，不过上面所阐述的等效性对于任何一个刚性的或可变形的参照系的运动也同样成立。
现在我们就要面临最重要的问题了。我们刚刚在一个加速的参照系中观察到了许多在一般重力场中未被观察到的现象。那么这些新现象，比如光线的弯曲或者钟表的走慢，在可测质量所产生的重力场中是否依旧存在？或者换句话说，加速度的影响与重力的影响不仅是相似的，更是一致的？
尽管从启发式的观点来看，将这两种影响效果视为完全一致是很有**力的，但是很明显只有通过直接的实验才能得到最终的答案。人类非常重视宇宙定理的简单性和内部统一性，令人类非常满意的是，有实验证明这些新的现象同样也存在于一般重力场。当然，由加速度与重力场等效关系假设所推测出的效应是非常小的，这就是为什么直到科学家们开始专门研究它们时才观察到它们的原因。
以上面所讨论的加速系统为例，我们很容易就能估算出两大最重要的相对论引力现象的数量级。
首先，我们以旋转的圆盘为例。由基本力学得知，作用在离中心的距离为r的粒子上的离心力，可由以下公式算出：
其中，ω是圆台旋转时固定的角速度。这个力在该粒子从中心运动到边缘时所做的总功是：
其中，R是圆台的半径。
根据上述等效原则，我们应该把F看作圆台上的重力，而把W看作圆心与边缘之间的引力势之差。
现在我们必须记得，正如我们在上一回讲座中所看到的那样，以速度v运动的时钟走得慢一些是由于这个因素：
如果v与c相比较小，我们可以忽略第二项以后的各项。根据角速度的定义，v=Rω，那么时钟的“减慢因子”就是：
这是用两个地点的引力势差来造成时钟速率的改变。
如果我们将一个时钟放在埃菲尔铁塔的底部，一个放在塔顶（约300米高），它们之间的势差非常小，所以塔底时钟的减慢因子只有0.999 999 999 999 97。
然而，地球表面与太阳表面两者间的引力势差就大很多了，由此产生的减慢因子就是0.999 999 5，这可以通过极为精密的仪器测量到。当然，并不会有人真的把普通的时钟放到太阳表面上，然后观察它的走针！物理学家们有更巧妙的方法。利用分光计，我们可以观察到太阳表面上各种原子的振动周期，并把它们与同一元素的原子在实验室中的本生灯火焰中的振动周期做比较。在太阳表面，原子的振动应该会慢一些，受到了上述公式（4）可计算出的减慢因子的影响，这些原子所发出的光也应该比地面光源的光红一些。这种“红移”实际上已经在太阳的光谱中观察到了，其他一些可以精确测量的恒星的光谱中也能够观察到，观察到的结果与我们的理论公式所给出的值相符合。
因此，“红移”的存在恰好证明了由于太阳表面具有更大的引力势能差，所以太阳上发生的运动会慢很多。
要测量重力场中光线的曲率，用之前举的飞船的例子会方便一些。如果l是光线穿过船舱的距离，那么光线走过这段距离的时间t为：
在这段时间内，以加速度g运动的飞船所飞过的距离L，根据基础力学公式可以得出：
因此，表示光线方向改变的角度具有以下的数量级：
光在引力场中走过的距离l越大，弧度Φ就越大。在这里，飞船的加速度g当然可以被解释为重力加速度。如果我现在让一束光线穿过这个会议厅，我可以粗略地取l=1000厘米。地球表面重力加速度g=981厘米／秒2，c=3×1010厘米／秒，那么我们可以得到：
这样你就可以看出，在这样的条件下，光线的曲率是肯定不能被观察到的。然而在靠近太阳表面的地方，g=27 000厘米／秒2，而且光线在太阳引力场中穿过的距离是非常远的。有精确的计算表明，一束光线在太阳表面附近通过时的偏转值应该是1.75弧秒。这正好与天文学家在日全食时观察到的，太阳旁边的恒星视位置的位移值相同。所以现在你也可以明白，这些观察向我们完全展示了加速度的效应及引力的影响。
现在我们可以回到关于空间曲率的问题了。你们应该还记得，我们给直线以最合理的定义，从而得出了结论，认为在非匀速运动的参照系中所得到的几何图形是不同于欧几里得几何定理的，这样的空间应该被认为是弯曲空间。既然任意一个重力场都与同一参照系中的某个加速度等效，那么就意味着任何一个有重力场存在的空间都是弯曲空间。或者，进一步说，重力场只是弯曲空间的一个物理表现。因此，每一点上的空间曲率都应该由质量的分布来决定，在质量重的物体附近，空间曲率应该达到它的最大值。描述弯曲空间的性质和它们与质量分布的关系的数学公式相当复杂，我在这里就不深入介绍了。我只想提醒一点，这个曲率一般不是取决于一个量，而是取决于十个不同的量，即通常为大家所知的重力势的分量gμv，它们是我之前用W表示的古典物理学重力势的一般化。相对应地，每个点的曲率也是由十个不同的曲率半径来描述，通常写成Rμv。爱因斯坦提出的基础方程式解释了这些曲率半径与质量分布的关系：
在该公式中，Tμv取决于密度、速度和质量所产生的重力场的其他性质。
在本场讲座的尾声，我想再提一提关于以上这个公式（9）的一个最有意思的结论。如果我们所考虑的是质量均匀分布的空间，比如我们这个分布着恒星和星系的空间，我们可以得出一个结论，除了在各个分开的恒星附近偶尔出现很大的曲率以外，整个空间通常会倾向于在长距离上均匀地弯曲。从数学上来讲，该公式有几个不同的解，一些解得出的结论是我们的空间最终会自我封闭，因此具有有限的体积；而另外一些解得出的结论是这个空间相当于我在讲座开始提到过的鞍形面，是无限空间。这个公式第二个重要的结果是，这样的弯曲空间应该处在稳定的膨胀或收缩中，在物理学上这就意味着分布在这个空间中的粒子应该会不断飞离彼此，或者恰恰相反，彼此不断靠近。此外，它还向我们展示了，对于具有有限体积的封闭空间，膨胀和收缩是周期性的相互交替的——这就是所谓的脉动宇宙。而另外，无限的“鞍形面”空间则永恒地处在收缩或膨胀的状态中。
在所有这些在数学上的可能性中，有哪一个可以与我们所居住的这个空间相对应呢？这个问题不仅需要物理学家的解答，还需要天文学家的研究。在此我不对这个问题进行深入探讨。我只提一下，截至目前，天文学中所得到的证据无疑证明我们的空间在膨胀，至于这个膨胀将来会不会转为收缩，这个空间大小是有限的还是无限的，这两个问题尚未得到明确解答。